حاسبة التغاير

قيم X	1, 2, 3, 4, 5
قيم Y	2, 4, 5, 4, 5

قيم X

1, 2, 3, 4, 5

قيم Y

2, 4, 5, 4, 5

النتائج

التغاير العيّني	1.5
$\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1.5 \end{aligned}$
تغاير المجتمع	1.2
$\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1.2 \end{aligned}$
متوسط X	3
متوسط Y	4
العدد	5

التغاير العيّني

1.5

\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1.5 \end{aligned}

تغاير المجتمع

1.2

\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1.2 \end{aligned}

متوسط X

متوسط Y

العدد

حاسبة التغاير

احسب التغاير العيّني والتغاير للمجتمع لمجموعتَي بيانات انطلاقًا من قيم X وY المقترنة. أدخل قائمتين مفصولتين بفواصل ومتساويتَي الطول لرؤية كلا التغايرين والمتوسطين واشتقاق خطوة بخطوة.

آخر تحديث: 2026-07-02

ما الذي يقيسه التغاير

يقيس التغاير كيف يتغيّر متغيّران معًا. فإذا كانت القيم الكبيرة لأحد المتغيّرين تميل إلى مصاحبة القيم الكبيرة للآخر، كان التغاير موجبًا؛ وإذا صاحبت القيم الكبيرة لأحدهما القيم الصغيرة للآخر، كان سالبًا. أما التغاير القريب من الصفر فيدل على علاقة خطية ضعيفة.

بالنسبة إلى المشاهدات المقترنة (x₁, y₁)، (x₂, y₂)، …، (xₙ, yₙ)، يُبنى التغاير من جداءات الانحرافات المقترنة: بُعد كل قيمة x عن متوسط X مضروبًا في بُعد قيمة y المقابلة عن متوسط Y:

Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)

قسمة هذا المجموع على n تعطي تغاير المجتمع؛ وقسمته على n − 1 تعطي التغاير العيّني.

تغاير المجتمع مقابل التغاير العيّني

هناك صيغتان لا تختلفان إلا في المقام:

تغاير المجتمع: σxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / n
التغاير العيّني: sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / (n − 1)

استخدم صيغة المجتمع عندما تغطّي بياناتك كل فرد في المجموعة محل الاهتمام. واستخدم الصيغة العيّنية — وهي الافتراضية في معظم برامج الإحصاء — عندما تكون البيانات عيّنة مسحوبة من مجتمع أكبر. أما المقسوم عليه n − 1، المعروف بتصحيح بِسِل، فيعوّض عن التقليل الطفيف الناشئ لأن المتوسطين x̄ و ȳ يُقدَّران من العيّنة نفسها.

مثال محلول

لنفترض أن دراسة صغيرة سجّلت ساعات المذاكرة (X) ودرجات اختبار (Y) لخمسة طلاب:

X = 1, 2, 3, 4, 5
Y = 2, 4, 5, 4, 5

الخطوة 1 — المتوسطان. x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 و ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.

الخطوة 2 — جداءات الانحرافات. احسب كل (xi − x̄)(yi − ȳ):

(1 − 3)(2 − 4) = (−2)(−2) = 4
(2 − 3)(4 − 4) = (−1)(0) = 0
(3 − 3)(5 − 4) = (0)(1) = 0
(4 − 3)(4 − 4) = (1)(0) = 0
(5 − 3)(5 − 4) = (2)(1) = 2

الخطوة 3 — المجموع. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.

الخطوة 4 — القسمة. تغاير المجتمع = 6 / 5 = 1.2. التغاير العيّني = 6 / (5 − 1) = 6 / 4 = 1.5.

تؤكّد النتيجة الموجبة أن ساعات المذاكرة والدرجات تميل إلى الارتفاع معًا في هذه البيانات.

علاقة التغاير بالارتباط

يدل التغاير على اتجاه العلاقة الخطية، لكنه لا يدل على قوّتها بطريقة قابلة للمقارنة، لأن حجمه يعتمد على وحدات البيانات ومقياسها. ويعالج معامل الارتباط ذلك بقسمة التغاير على جداء الانحرافين المعياريين، فيعيد قياس النتيجة لتقع دائمًا بين −1 و+1.

باختصار: التغاير هو المقياس غير المُوحَّد، والارتباط هو نظيره المُوحَّد الخالي من الوحدات. فحين تريد الحكم على مدى تحرّك متغيّرين معًا عن قرب، احسب معامل الارتباط؛ وحين تحتاج إلى المقياس الخام — مثلًا لبناء مصفوفة التغاير — فاستخدم التغاير مباشرةً.

تفسير الإشارة والمقدار

إشارة التغاير ذات دلالة بحد ذاتها:

موجب: يميل المتغيّران إلى التحرك في الاتجاه نفسه.
سالب: يميل المتغيّران إلى التحرك في اتجاهين متعاكسين.
قريب من الصفر: علاقة خطية ضعيفة.

أما المقدار فلا يمكن تفسيره مباشرةً، لأنه يحمل جداء وحدتَي المتغيّرين. فالتغاير المقيس بالكيلوغرام·سنتيمتر لا يمكن مقارنته بآخر مقيس بمبلغ سنوي. ولمقارنة القوى بين مجموعات البيانات، حوِّل دائمًا إلى معامل الارتباط.

حاسبات ذات صلة

حاسبة معامل ارتباط بيرسون — المقياس المُوحَّد الخالي من الوحدات للارتباط الخطي
حاسبة الانحدار الخطي — يلائم مستقيم المربعات الصغرى وميله لبيانات مقترنة
حاسبة التباين والانحراف المعياري — التباين والانحراف المعياري لمتغيّر واحد
حاسبة الإحصاء الوصفي — الإحصاءات الوصفية الكاملة لمجموعة بيانات

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين التغاير العيّني وتغاير المجتمع؟

كلاهما يقيس كيف يتغيّر متغيّران معًا، لكنهما يختلفان في المقام. تغاير المجتمع يقسم مجموع جداءات الانحرافات على n معاملًا البيانات بوصفها المجتمع الكامل. أما التغاير العيّني فيقسم على n − 1 بدلًا من ذلك — وهو تصحيح بِسِل — الذي يعوّض عن ميل العيّنة إلى التقليل من التشتت الحقيقي عندما تُقدَّر المتوسطات من البيانات نفسها.

استخدم صيغة المجتمع فقط حين تغطّي البيانات كل فرد في المجموعة محل الاهتمام. أما عمليًا فالبيانات غالبًا عيّنة مسحوبة من مجتمع أكبر، لذا يكون التغاير العيّني (÷ n − 1) هو الخيار المناسب، وهو القيمة التي تُخرجها معظم برامج الإحصاء افتراضيًا.

ما علاقة التغاير بمعامل الارتباط؟

معامل الارتباط هو تغاير مُوحَّد. فهو يقسم التغاير على جداء الانحرافين المعياريين، ما يعيد قياس النتيجة لتقع دائمًا بين −1 و+1. وهذا يجعل الارتباط قابلًا للمقارنة عبر مجموعات بيانات مختلفة الوحدات والتشتت، وهو ما لا يتيحه التغاير.

لذلك يدل التغاير على اتجاه العلاقة (موجب أو سالب أو منعدم) لكنه لا يدل على قوّتها بمعنى مطلق؛ فقد يعني التغاير الكبير مجرد أن للمتغيرين وحدات كبيرة. وإذا أردت مقياسًا لا يتأثر بالوحدات لمدى ترابط متغيّرين، فاحسب معامل الارتباط.

ماذا تدل عليه إشارة التغاير؟

التغاير الموجب يعني أن المتغيّرين يميلان إلى التحرك في الاتجاه نفسه: فحين يكون X أعلى من متوسطه يميل Y أيضًا إلى أن يكون أعلى من متوسطه. والتغاير السالب يعني أنهما يتحركان في اتجاهين متعاكسين — فوجود X فوق متوسطه يقترن بوجود Y دون متوسطه. أما التغاير القريب من الصفر فيدل على علاقة خطية ضعيفة.

أما المقدار فلا يمكن تفسيره بمفرده، لأنه يعتمد على وحدات البيانات ومقياسها. ولتقدير قوّة العلاقة، انظر إلى معامل الارتباط بدلًا من قيمة التغاير الخام.

ما وحدات التغاير؟

يحمل التغاير جداء وحدتَي المتغيّرين. فإذا قيس X بالكيلوغرامات وY بالسنتيمترات، عُبِّر عن التغاير بوحدة كيلوغرام·سنتيمتر. ولهذا يصعب تفسير الرقم الخام ولا يمكن مقارنته مباشرة بين أزواج مختلفة من المتغيّرات.

ويحل معامل الارتباط هذه المشكلة بإلغاء الوحدات وإنتاج عدد بلا أبعاد بين −1 و+1. فحين تحتاج إلى قيمة قابلة للمقارنة أو لتفسيرها كقوة، استخدم الارتباط؛ واستخدم التغاير حين تحتاج تحديدًا إلى المقياس غير المُوحَّد، مثلًا كعنصر في مصفوفة التغاير.

حاسبة التغاير

المدخلات

النتائج

حاسبة التغاير

البيانات

تفاصيل

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حاسبة معامل ارتباط بيرسون

حاسبة الانحدار الخطي

حاسبة التباين والانحراف المعياري

حاسبة الإحصاء الوصفي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين