آخر تحديث: 2026-05-19

تعريف المميز

المميز للمعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 هو التعبير D = b² − 4ac. يُحدد هذا العدد طبيعة جذور المعادلة دون الحاجة إلى حلها بالكامل. يكفي إشارة D وحدها لمعرفة ما إذا كانت الجذور حقيقية مختلفة أو مضاعفة أو مركبة. وهو مفهوم أساسي في مناهج الرياضيات بالمرحلة الثانوية في معظم الدول العربية، ويُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة.

خطوات حساب المميز

1. تربيع المعامل الأوسط: b²
2. ضرب المعاملين الطرفيين في أربعة: 4 × a × c
3. الطرح: D = b² − 4ac

لا حاجة لجذور تربيعية أو كسور في هذه المرحلة؛ ثلاث عمليات أساسية تكفي. إشارة النتيجة تحدد طبيعة الجذور مباشرة.

إشارة المميز وطبيعة الجذور

حين يكون D = 0 يقع رأس القطع المكافئ بالضبط على المحور السيني ويكون الجذر الوحيد هو x = −b / (2a).

أمثلة محلولة

مثال 1 — D > 0 (جذران حقيقيان مختلفان)

المعادلة: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1، b = −5، c = 6)

الحساب: b² = 25، 4ac = 24، D = 25 − 24 = 1

بما أن D = 1 > 0 فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان. بتطبيق القانون العام نحصل على x = 2 وx = 3، وهما نقطتا تقاطع القطع المكافئ y = x² − 5x + 6 مع المحور السيني.

مثال 2 — D = 0 (جذر مضاعف)

المعادلة: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1، b = −6، c = 9)

الحساب: b² = 36، 4ac = 36، D = 36 − 36 = 0

الجذر المضاعف هو x = −(−6) / (2 × 1) = 3. تتحلل المعادلة إلى (x − 3)² = 0 ويلامس القطع المكافئ المحور السيني عند رأسه في النقطة x = 3.

مثال 3 — D < 0 (جذران مركبان)

المعادلة: x² + x + 1 = 0 (a = 1، b = 1، c = 1)

الحساب: b² = 1، 4ac = 4، D = 1 − 4 = −3

بما أن D = −3 < 0 فلا توجد جذور حقيقية. الجذران هما العددان المركبان المترافقان $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0.5 \pm 0.866i$. القيمة $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1.732$ التي تعرضها الحاسبة تمثل قيمة الجزء التخيلي المطلقة.

العلاقة بالقانون العام

القانون العام للمعادلة التربيعية هو:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

المقدار تحت الجذر هو بالضبط المميز D. حين يكون D > 0 يكون $\sqrt{D}$ موجباً حقيقياً وتُعطي العلامة ± جذرين مختلفين. حين يكون D = 0 يساوي الجذر صفراً ويبقى جذر وحيد. حين يكون D < 0 يكون $\sqrt{D}$ تخيلياً وتُنتج الصيغة جذرين مركبين مترافقين. حساب المميز أولاً يوفر الوقت بتحديد الحالة قبل إتمام الحل الكامل.

الحالة الخاصة: a = 0

إذا كان a = 0 تتحول المعادلة ax² + bx + c = 0 إلى معادلة خطية bx + c = 0. يمكن حساب D = b² − 4ac وسيُعطي قيمة (b²) لكنها لا تحمل معنى المميز للمعادلة التربيعية. تشترط هذه الحاسبة أن يكون a ≠ 0 وتعرض رسالة خطأ إذا أُدخلت a = 0. حل المعادلة الخطية هو x = −c / b بشرط أن يكون b ≠ 0.