Skip to content
تاريخ الإنشاء: 20 يوليو 2026 في 09:34 م

حاسبة فترة الثقة لنسبة

المدخلات

عدد النجاحات320
حجم العينة500
مستوى الثقة95%

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/confidence-interval-proportion

الرياضيات

حاسبة فترة الثقة لنسبة

تحسب فترة الثقة وهامش الخطأ لنسبة العينة. أدخل عدد النجاحات وحجم العينة، واختر مستوى ثقة 90% أو 95% أو 99%، لتظهر فترتا والد (Wald) وويلسون (Wilson) معًا.

المدخلات

بيانات العينة

≥ 1

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

%
%

التقدير النقطي وهامش الخطأ

%
%

فترة درجة ويلسون

%
%

خطوة بخطوة

\hat p = \dfrac{x}{n} = \dfrac{320}{500} = ?\%
\begin{aligned} E &= z^{*} \sqrt{\dfrac{\hat p\,(1 - \hat p)}{n}} \\ &= ? \sqrt{\dfrac{\frac{320}{500}\left(1 - \frac{320}{500}\right)}{500}} \\ &= ?\% \end{aligned}
\text{Lower} = \hat p - E = ?\% - ?\% = ?\%
\text{Upper} = \hat p + E = ?\% + ?\% = ?\%

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

فترة الثقة لنسبة

عندما يذكر استطلاع أن 64% من المستجيبين يؤيدون سياسة ما، فإن هذه النسبة المفردة ليست سوى تقدير نقطي من عينة واحدة. تحوّل فترة الثقة هذا التقدير إلى نطاق من القيم المحتملة للنسبة الحقيقية في المجتمع، مصحوبًا بمستوى ثقة معلن. وهي تجمع بين نسبة العينة وهامش خطأ يعكس مقدار تغيّر التقدير من عينة إلى أخرى.

الصيغ الرياضية

مع xx نجاحًا في عينة حجمها nn، تكون نسبة العينة:

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

الخطأ المعياري:

SE=p^ (1−p^)nSE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

هامش الخطأ:

E=z∗×SE=z∗p^ (1−p^)nE = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

فترة ثقة والد:

p^±E=[p^−E, p^+E]\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]

القيم الحرجة لـ z (التوزيع الطبيعي المعياري):

مستوى الثقةz∗z^{*}
90%1.6449
95%1.9600
99%2.5758

والد في مقابل ويلسون

فترة والد أعلاه هي الصيغة الواردة في معظم الكتب التمهيدية: متناظرة حول p^\hat{p} وسهلة الحساب. ونقطة ضعفها اعتمادها على التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين، الذي ينهار عندما تكون العينة صغيرة أو النسبة قريبة من 0 أو 1. وفي تلك الحالات تكون فترة والد ضيقة أكثر من اللازم، وتقل تغطيتها عن المستوى المعلن، بل قد تنتج حدودًا أقل من 0% أو أكثر من 100%.

وتعالج فترة درجة ويلسون ذلك بعكس اختبار الدرجة بدلًا من افتراض التناظر:

p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}

تبقى حدود ويلسون دائمًا بين 0 و100%، والفترة غير متناظرة، وتظل تغطيتها قريبة من المستوى المستهدف حتى مع nn الصغير. ويعامل كثير من الإحصائيين اليوم ويلسون بوصفها الخيار الافتراضي؛ وتعرض هذه الحاسبة الفترتين للمقارنة جنبًا إلى جنب.

متى يكون التقريب الطبيعي صالحًا؟

من القواعد العملية الشائعة ألا يُوثَق بفترة والد إلا عندما يتحقق في آنٍ واحد

np^≥5وn(1−p^)≥5n\hat{p} \geq 5 \quad \text{و} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5

(وتشترط بعض المراجع 10). ومع نجاحات قليلة جدًا، أو نسبة قريبة من 0 أو 1، أو عينة صغيرة، انتقل إلى فترة درجة ويلسون أو إلى فترة كلوبر–بيرسون الدقيقة.

التفسير

فترة ثقة 95% لا تعني أن احتمال وقوع النسبة الحقيقية ضمن نطاق معيّن هو 95%. فالنسبة الحقيقية للمجتمع ثابت مجهول، والكائن العشوائي هو الفترة، لأنها تُبنى من عينة عشوائية.

المعنى الدقيق هو تصريح عن الإجراء: لو كُرّر أخذ العينات وبناء الفترة نفسه مرات عديدة، لاحتوت نحو 95% من الفترات الناتجة على النسبة الحقيقية. وأي فترة بعينها إما تحتويها أو لا تحتويها.

الاستطلاعات وهامش الخطأ

عادةً ما تذكر التغطية الإعلامية لاستطلاع «هامش خطأ ±3 نقاط مئوية» كرقم واحد. وهذا الرقم هو تحديدًا E=z∗p^(1−p^)/nE = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} عند ثقة 95%. وبما أن p^(1−p^)\hat{p}(1-\hat{p}) يبلغ أقصاه عند p^=0.5\hat{p} = 0.5، تذكر المؤسسات غالبًا الهامش عند p^=0.5\hat{p} = 0.5، فيغطي رقم واحد بتحفّظ كل الأسئلة.

يتقلص هامش الخطأ مع n\sqrt{n}: فتخفيضه إلى النصف يتطلب أربعة أضعاف حجم العينة.

حجم العينةهامش الخطأ (95%، p^=0.5\hat{p} = 0.5)
n = 100±9.8
n = 400±4.9
n = 1000±3.1
n = 1600±2.5

مثال محلول: استطلاع تأييد

يجد استطلاع لـ500 ناخب أن 320 منهم يؤيدون اقتراحًا.

نسبة العينة: p^=320/500=0.64\hat{p} = 320 / 500 = 0.64

الخطأ المعياري: SE=0.64×0.36/500≈0.0215SE = \sqrt{0.64 \times 0.36 / 500} \approx 0.0215

هامش الخطأ عند 95%: E=1.96×0.0215≈0.0421E = 1.96 \times 0.0215 \approx 0.0421

فترة والد:

0.64±0.0421=[0.5979, 0.6821]=[59.79%, 68.21%]0.64 \pm 0.0421 = [0.5979,\ 0.6821] = [59.79\%,\ 68.21\%]

أما فترة درجة ويلسون للبيانات نفسها فهي [59.70%, 68.09%][59.70\%,\ 68.09\%] — وهي هنا شبه متطابقة لأن n=500n = 500 كبير وp^=0.64\hat{p} = 0.64 بعيد عن الطرفين. ويبلغ التباعد بين الفترتين أقصاه عندما تكون العينة صغيرة أو النسبة قريبة من 0 أو 1.

التفسير: «استنادًا إلى هذه العينة البالغة 500، نقدّر أن ما بين نحو 60% و68% من جميع الناخبين يؤيدون الاقتراح، بثقة 95%.»

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين فترة والد وفترة ويلسون؟

فترة والد (p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)) هي صيغة الكتب الدراسية: بسيطة ومتناظرة حول p̂ وسريعة الحساب. تعمل جيدًا عندما تكون العينة كبيرة وp̂ قريبة من 0.5، لكنها ضعيفة الأداء مع العينات الصغيرة أو النسب القريبة من 0 أو 1، بل قد تنتج حدودًا أقل من 0% أو أكثر من 100%. أما فترة درجة ويلسون فتحل المشكلة نفسها بعكس اختبار الدرجة: تبقى دائمًا بين 0 و100%، وهي غير متناظرة، وتحافظ على تغطية قريبة من المستوى المعلن حتى مع n الصغير. ويوصي كثير من الإحصائيين اليوم بويلسون كخيار افتراضي. تعرض هذه الحاسبة الفترتين للمقارنة.

ما علاقة ذلك بـ«هامش الخطأ» في استطلاع الرأي؟

عندما يذكر استطلاع «تأييد 52%، هامش خطأ ±3 نقاط مئوية»، فإن ذلك ±3 هو تحديدًا هامش الخطأ E = z*·√(p̂(1−p̂)/n) عند ثقة 95%. وبما أن p̂(1−p̂) يبلغ أقصاه عند p̂ = 0.5، تذكر المؤسسات عادةً الهامش عند p̂ = 0.5، فيغطي رقم واحد بتحفّظ كل أسئلة الاستطلاع. أدخل النسبة المعلنة على هيئة نجاحات على حجم العينة لإعادة إنتاج الفترة.

متى يكون التقريب الطبيعي صالحًا؟

تعتمد فترة والد على التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين، وهو معقول عندما يكون كل من n·p̂ وn·(1 − p̂) لا يقل عن 5 (وتشترط بعض الكتب 10). ومع قلة النجاحات أو نسبة قريبة من 0 أو 1 ينهار التقريب وتصبح فترة والد غير موثوقة، وهو بالضبط الموقف الذي ينبغي فيه استخدام فترة درجة ويلسون (أو فترة كلوبر–بيرسون الدقيقة).

كيف أفسّر الفترة الناتجة؟

فترة ثقة 95% من 59.79% إلى 68.21% لا تعني أن احتمال وقوع النسبة الحقيقية ضمن هذا المدى هو 95%؛ فالنسبة الحقيقية ثابتة. بل تعني أن الإجراء الذي أنتج هذه الفترة يلتقط النسبة الحقيقية للمجتمع في 95% من الحالات عند تكرار أخذ العينات. عمليًا: يمكنك الوثوق إلى حد معقول بأن النسبة الحقيقية تقع ضمن الحدود المذكورة، وكلما اتسعت الفترة دلّ ذلك على عينة أصغر أو مستوى ثقة أكثر صرامة.

التالي الموصى به

حاسبة فترة الثقة

تُحسب فترة الثقة وهامش الخطأ والقيمة الحرجة Z لمتوسط عينة إحصائية. يدعم مستويات الثقة 90% و95% و99%.

 اعرف المزيد
حاسبة هامش الخطأ

حساب هامش الخطأ لمتوسط مجتمع بالصيغة E = z·σ/√n وفترة الثقة الناتجة x̄ ± E، انطلاقًا من مستوى الثقة والانحراف المعياري وحجم العينة ومتوسط العينة.

 اعرف المزيد
حاسبة حجم العينة (النسبة)

إيجاد حجم العينة اللازم لتقدير نسبة المجتمع ضمن هامش خطأ مستهدف، بعد اختيار مستوى الثقة والنسبة المفترضة وهامش الخطأ المطلوب.

 اعرف المزيد
اختبار z للفرق بين نسبتين

يختبر ما إذا كانت نسبتان مستقلتان مختلفتين. أدخل عدد النجاحات وحجم العينة لكل مجموعة، واختر اتجاه الفرضية، لتحصل على النسبة المجمّعة وإحصائية z والقيمة الاحتمالية p.

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗