تاريخ الإنشاء: 13 يونيو 2026 في 06:01 م

حاسبة التوزيع الهندسي

المدخلات

احتمال النجاح	0.3
رقم المحاولة	3

الرسم البياني

قيمة دالة الكثافة الاحتمالية 0

الرياضيات

حاسبة التوزيع الهندسي

احسب احتمال حدوث النجاح الأول في المحاولة k، والاحتمال التراكمي P(X≤k)، والوسط الحسابي والتباين للتوزيع الهندسي.

المعاملات

احتمال النجاح

0 – 1

رقم المحاولة

≥ 1

أدخل قيمة لعرض النتائج.

الاحتمال الدقيق

تفاصيل

الاحتمال التراكمي

الانحراف المعياري

العدد المتوقع من المحاولات

التباين

الاحتمالات

P(X = k) — احتمال النجاح الأول في المحاولة k

\begin{aligned} P(X=k) &= (1-p)^{k-1} \cdot p \\ &= (1-0.3)^{ 3-1 } \cdot 0.3 \\ &= ? \end{aligned}

P(X ≤ k) — الاحتمال التراكمي

\begin{aligned} P(X \leq k) &= 1-(1-p)^{k} \\ &= 1-(1-0.3)^{ 3 } \\ &= ? \end{aligned}

الوسط الحسابي (العدد المتوقع من المحاولات)

\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{p} \\ &= \dfrac{1}{ 0.3 } \\ &= ? \end{aligned}

التباين

\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \dfrac{1-0.3}{ 0.3^2 } \\ &= ? \end{aligned}

التوزيع

قيمة دالة الكثافة الاحتمالية 0

آخر تحديث: 2026-06-04

التوزيع الهندسي توزيع احتمالي يصف عدد المحاولات المستقلة المتطابقة اللازمة للحصول على أول نجاح، إذ تكون كل محاولة إما ناجحة أو فاشلة باحتمال ثابت. يُعدّ هذا التوزيع أداةً أساسية في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي، ويظهر في تحليل موثوقية الأنظمة، ومراقبة الجودة، ونمذجة العمليات المتكررة في مجالات متعددة.

الصيغة الرياضية

تعتمد هذه الحاسبة اصطلاح "عدد المحاولات حتى أول نجاح"، إذ تمثل X رقم المحاولة التي يقع فيها النجاح الأول، وبالتالي X ≥ 1. وفق هذا الاصطلاح، تأخذ دالة الكثافة الاحتمالية والدالة التراكمية الصورتين الآتيتين:

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

وسط التوزيع وتباينه في ظل هذا الاصطلاح:

\mu = \frac{1}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}

ثمة اصطلاح بديل — شائع في بعض الكتب المرجعية في التحليل التوافقي — يعرّف X على أنه عدد الإخفاقات قبل أول نجاح (X ≥ 0)، فتصبح دالة الكثافة P(X = k) = (1−p)^k · p، ويكون الوسط (1−p)/p. لا تعتمد هذه الحاسبة هذا الاصطلاح البديل.

مثال محلول

يُغلق مدير مبيعات صفقةً في نحو 30 ٪ من المكالمات مع العملاء، بصورة مستقلة من مكالمة إلى أخرى. ما احتمال أن تكون المكالمة الثالثة هي أول مكالمة ناجحة؟

بتطبيق p = 0.30 و k = 3:

P(X = 3) = (1 - 0.30)^{3-1} \times 0.30 = 0.70^{2} \times 0.30 = 0.49 \times 0.30 = 0.147

احتمال أن تكون المكالمة الثالثة هي الأولى الناجحة يبلغ 14.7 ٪. أما الاحتمال التراكمي لتحقيق نجاح في ثلاث مكالمات أو أقل فهو:

P(X \leq 3) = 1 - 0.70^3 = 1 - 0.343 = 0.657

أي أن احتمال تحقق النجاح الأول بحلول المحاولة الثالثة أو قبلها يبلغ 65.7 ٪. والعدد المتوقع من المكالمات اللازمة هو μ = 1/0.30 ≈ 3.33.

مبرر الصيغة

لكي يقع النجاح الأول في المحاولة k تحديدًا، يلزم توافر شرطين:

يجب أن تفشل المحاولات من 1 إلى k−1، واحتمال فشل كل منها 1−p، والمحاولات مستقلة، فيكون احتمال k−1 إخفاق متتالٍ مساويًا (1−p)^(k−1).
يجب أن تنجح المحاولة k، واحتمال ذلك p.

حاصل ضرب هذين الاحتمالين المستقلين يعطي (1−p)^(k−1) · p.

أما الدالة التراكمية فتنبثق من مبدأ المكمل: الحدث الوحيد الذي يجعل P(X ≤ k) تفشل هو فشل جميع المحاولات الـ k، واحتمال ذلك (1−p)^k. وبالتالي P(X ≤ k) = 1 − (1−p)^k.

خاصية انعدام الذاكرة

يتميز التوزيع الهندسي بكونه التوزيع التقديري المنفصل الوحيد الذي يتمتع بـخاصية انعدام الذاكرة: إذا لم يقع النجاح الأول بعد m محاولة، فإن زمن الانتظار المتبقي يخضع للتوزيع الهندسي ذاته. صياغةً رياضية: P(X > m + n | X > m) = P(X > n). تجعل هذه الخاصية التوزيع الهندسي قابلًا للتحليل في نظرية الانتظار والاختبار التسلسلي.

الصلة بالتوزيعات الأخرى

التوزيع الهندسي حالة خاصة من التوزيع السالب ذي الحدين عند تحديد عدد النجاحات المطلوبة بـ r = 1. بصورة أعم، مجموع r متغيرات عشوائية هندسية مستقلة يخضع للتوزيع السالب ذي الحدين، الذي يصف عدد المحاولات اللازمة لتحقيق r نجاحات.

عندما يكون احتمال النجاح p صغيرًا وعدد المحاولات n كبيرًا، يقترب توزيع عدد النجاحات من توزيع بواسون. وعند p قريبة من 1، يتركز التوزيع حول k = 1 ويزداد انحيازه.

تطبيقات عملية

مراكز الاتصال والمبيعات: تقدير متوسط عدد الاتصالات اللازمة قبل إتمام صفقة أو تحويل عميل محتمل.
الموثوقية ومراقبة الجودة: نمذجة عدد الوحدات المفحوصة قبل رصد أول وحدة معيبة في خط إنتاج.
إعادة إرسال البيانات في الشبكات: تحليل عدد محاولات الإرسال اللازمة قبل وصول حزمة بيانات دون أخطاء.
التجارب السريرية: حساب العدد المتوقع من المرضى الخاضعين للفحص حتى انتقاء أول مريض مؤهل وفق معايير الدراسة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما التوزيع الهندسي؟

التوزيع الهندسي توزيع احتمالي يصف عدد المحاولات المستقلة من نوع برنولي اللازمة للحصول على أول نجاح. تتشارك كل محاولة نفس احتمال النجاح p وتكون مستقلة عن سائر المحاولات. فإذا كان p = 0.3، فإن التوزيع يصف عدد مرات تقليب قطعة نرد — باحتمال 0.3 لإصابة الوجه المستهدف — حتى يقع النجاح للمرة الأولى. ويتميز هذا التوزيع بخاصية انعدام الذاكرة: عدد المحاولات الإضافية اللازمة لتحقيق النجاح لا يتأثر بعدد الإخفاقات السابقة.

ما الاصطلاح المعتمد في هذه الحاسبة؟

تعتمد هذه الحاسبة اصطلاح "عدد المحاولات حتى أول نجاح"، إذ تمثل X رقم المحاولة التي يقع فيها النجاح، وبالتالي X ≥ 1. وفق هذا الاصطلاح: P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p. ثمة اصطلاح بديل يعرّف X على أنه عدد الإخفاقات قبل أول نجاح (X ≥ 0)، فيكون P(X = k) = (1−p)^k · p. يختلف الاصطلاحان بمقدار وحدة واحدة في الترقيم. وسط هذه الحاسبة هو 1/p، في حين أن اصطلاح الإخفاقات يعطي وسطًا مقداره (1−p)/p.

كم عدد المحاولات المتوقعة في المتوسط؟

يبلغ المتوسط المتوقع لعدد المحاولات μ = 1/p. فعند p = 0.25 يكون المتوسط 4 محاولات، وعند p = 0.1 يرتفع إلى 10 محاولات. أما الانحراف المعياري فهو σ = √((1−p)/p²)، وعند p = 0.25 يبلغ √12 ≈ 3.46، مما يدل على تشتت ملحوظ بين تجربة وأخرى. يتسم التوزيع بالانحياز الأيمن: تنتهي معظم التسلسلات بسرعة، غير أن التسلسلات الطويلة النادرة ترفع قيمة المتوسط.

ما العلاقة بين التوزيع الهندسي والتوزيع السالب ذي الحدين؟

التوزيع الهندسي حالة خاصة من التوزيع السالب ذي الحدين عند تحديد عدد النجاحات المطلوبة بـ r = 1. فالتوزيع السالب ذو الحدين عند r = 1 يعطي P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p، وهو ما يطابق دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الهندسي تمامًا. يُعمّم التوزيع السالب ذو الحدين هذه الصيغة ليشمل عدد المحاولات اللازمة لتحقيق r نجاحات. تكتسب هذه العلاقة أهمية عملية عند توسيع النماذج الهندسية لتغطية سيناريوهات تستلزم نجاحات متعددة.

التالي الموصى به

حاسبة الاحتمال الثنائي

يحسب الاحتمال الدقيق P(X=k) والتراكمي P(X≤k) و P(X≥k) للتوزيع الثنائي، بإدخال عدد التجارب وعدد النجاحات واحتمال النجاح في كل تجربة.

اعرف المزيد

حاسبة التوافيق — C(n, r)

احسب التوافيق C(n, r): عدد طرق اختيار r عنصر من n بصرف النظر عن الترتيب. يدعم n حتى 20.

اعرف المزيد

حاسبة الإحصاء الوصفي

احسب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري والتباين والمدى والقيمة الصغرى والعظمى لثمانية بيانات. يعرض إحصاءات المجتمع والعينة مع تصحيح بيسل.

اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

مدعوم من OneCalc ↗