تاريخ الإنشاء: 13 يونيو 2026 في 06:01 م

حاسبة الضرب النقطي للمتجهات

المدخلات

المتجه أ (مركبات مفصولة بفواصل)1, 2, 3
المتجه ب (مركبات مفصولة بفواصل)4, 5, 6

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/dot-product

الرياضيات

حاسبة الضرب النقطي للمتجهات

احسب الضرب النقطي لمتجهين n-بعديين، والزاوية بينهما، وجيب تمام الزاوية، ومقداريهما — مع خطوات اشتقاق تفصيلية. أدخل المركبات مفصولة بفواصل.

المدخلات

المتجه أ

المتجه ب

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

تفاصيل

orthogonal_yes

خطوات الاشتقاق

\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{? \times ?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \theta &= \arccos(\cos\theta) \\ &= \arccos(?) \\ &= ?° \end{aligned}

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

تعريف الضرب النقطي

الضرب النقطي (أو الضرب القياسي) لمتجهين أ وب هو عملية جبرية تنتج عدداً حقيقياً، لا متجهاً. للمتجهين ذوي n من المركبات:

a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)

يُعرَّف الضرب النقطي بالصيغة الجبرية:

a⋅b=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

الصيغة الهندسية وجيب التمام

يرتبط الضرب النقطي بالزاوية θ بين المتجهين عبر العلاقة:

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta

حيث |أ| و|ب| هما مقدارا المتجهين (طولاهما الإقليديان). بإعادة ترتيب هذه العلاقة يمكن استخراج جيب تمام الزاوية:

cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}

ثم تُحسب الزاوية نفسها بأخذ جيب التمام العكسي:

θ=arccos⁡ ⁣(a⋅b∣a∣∣b∣)\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)

تقع الزاوية دائماً في النطاق [0°, 180°].

حساب المقدار

مقدار كل متجه يُحسب بالمعيار الإقليدي (L²)، وهو تعميم لنظرية فيثاغورس:

∣a∣=a12+a22+⋯+an2|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}

مثال محلول

ليكن أ = (1, 2, 3) وب = (4, 5, 6).

الضرب النقطي:

a⋅b=(1)(4)+(2)(5)+(3)(6)=4+10+18=32\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32

المقداران:

∣a∣=1+4+9=14≈3.7417|\mathbf{a}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.7417 ∣b∣=16+25+36=77≈8.7750|\mathbf{b}| = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \approx 8.7750

جيب تمام الزاوية:

cos⁡θ=3214⋅77=321078≈0.9746\cos\theta = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}} \approx 0.9746

الزاوية:

θ=arccos⁡(0.9746)≈12.93°\theta = \arccos(0.9746) \approx 12.93°

التعامد واختباره

يُعدّ اختبار التعامد من أبرز تطبيقات الضرب النقطي: متجهان أ وب متعامدان (عموديان على بعضهما) إذا وفقط إذا كان:

a⋅b=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

وهو ما يعادل cos θ = 0، أي θ = 90°. في إحداثيات ديكارت، المتجهات الأساسية i وj وk متعامدة مع بعضها تبعاً لهذا التعريف.

الإسقاط القياسي

الإسقاط القياسي لـأ على ب — أي المقدار المسقط لـأ في اتجاه ب — يُعطى بالصيغة:

projb a=a⋅b∣b∣\text{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

والإسقاط المتجهي (متجه في اتجاه ب بذلك الطول):

projb a=a⋅b∣b∣2 b\text{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

تُشكّل الإسقاطات الأساس الرياضي لطريقة المربعات الصغرى في الإحصاء، وتحليل القوى إلى مركبات في الميكانيكا، وعمليات تشغيل الإضاءة في رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد.

الخصائص الجبرية

يتمتع الضرب النقطي بالخصائص التالية:

  • التبادلية: أ · ب = ب · أ
  • التوزيعية على الجمع: أ · (ب + ج) = أ · ب + أ · ج
  • التجانس: (cأ) · ب = c(أ · ب) لأي ثابت حقيقي c
  • الارتباط بالمقدار: أ · أ = |أ|²

بخلاف الضرب الاتجاهي، الضرب النقطي تبادلي ولا ينتج متجهاً، وهو معرَّف لأي عدد من الأبعاد.

التطبيقات

يظهر الضرب النقطي في مجالات متعددة:

  • الفيزياء: الشغل المبذول يساوي حاصل الضرب النقطي للقوة بالإزاحة: W = F · d. كذلك يُستخدم في حساب القدرة الكهربية وطاقة المجالات المغناطيسية.
  • رسومات الحاسوب: يُحدِّد الضرب النقطي للمتجه الضوئي بالمتجه العمودي للسطح شدة الإضاءة في نموذج لامبرت للانعكاس المنتشر.
  • تعلُّم الآلة: تشابه جيب التمام (Cosine similarity) — المعتمد على الضرب النقطي — يُستخدم في قياس القرب بين تمثيلات المستندات والكلمات في نماذج معالجة اللغة الطبيعية.
  • الإحصاء والجبر الخطي: الضرب النقطي يُكافئ ضرب المصفوفات أᵀب، وهو اللبنة الأساسية في التحويل الأورثوغوني وتحليل المكونات الرئيسية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما المعنى الهندسي للضرب النقطي؟

الضرب النقطي أ · ب = |أ||ب|cos θ يقيس مدى توافق اتجاهي المتجهين:

  • θ = 0° (متجهان متوازيان): يبلغ الضرب النقطي قيمته القصوى، وهي حاصل ضرب المقدارين.
  • θ = 90° (متجهان عموديان): يساوي الصفر.
  • θ > 90°: يكون الضرب النقطي سالباً، ما يدل على أن المتجهين يميلان في اتجاهين متضادين.

هندسياً، يساوي أ · ب مقدارَ إسقاط ب على أ مضروباً في |أ|.

متى يساوي الضرب النقطي الصفر؟

يساوي الضرب النقطي الصفر في حالتين: إذا كان cos θ = 0 (أي θ = 90°)، مما يعني أن المتجهين متعامدان؛ أو إذا كان أحد المتجهين متجهاً صفرياً، بصرف النظر عن اتجاه الآخر.

في التطبيقات، يُؤكد الضرب النقطي الصفري استقلالية اتجاهين تماماً. فالمتجهان الأساسيان x وy في إحداثيات ديكارت مثال على ذلك.

كيف تُحسب الزاوية بين متجهين باستخدام الضرب النقطي؟

بإعادة ترتيب التعريف الهندسي: θ = arccos(أ · ب / (|أ| |ب|)). الخطوات:

  1. احسب الضرب النقطي أ · ب.
  2. احسب مقداري المتجهين |أ| و|ب|، ثم اقسم الضرب النقطي على حاصل ضربهما للحصول على cos θ (قيمة في النطاق [−1, 1]).
  3. خذ جيب التمام العكسي للحصول على θ في النطاق [0°, 180°].

مثال: مع أ = (3, 4) وب = (0, 5)، الضرب النقطي = 20، |أ| = 5، |ب| = 5، إذن cos θ = 0.8 وθ = arccos(0.8) ≈ 36.87°.

ما هو إسقاط المتجه أ على المتجه ب؟

الإسقاط القياسي لـأ على ب (مدى امتداد أ في اتجاه ب) هو: أ · ب / |ب|. أما الإسقاط المتجهي — متجه في اتجاه ب بذلك الطول — فهو: (أ · ب / |ب|²) · ب.

مثلاً، مع أ = (3, 4) وب = (1, 0): الإسقاط القياسي = 3، والإسقاط المتجهي = (3, 0). وتتسع تطبيقات الإسقاط لتشمل طريقة المربعات الصغرى، وحسابات الظل في رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد، وتحليل القوى إلى مركبات.

التالي الموصى به

حاسبة الضرب الاتجاهي (متجهات ثلاثية الأبعاد)

احسب ضرب المتجهات (الضرب الاتجاهي) لمتجهين ثلاثيين — المركبات، المقدار، ومساحة متوازي الأضلاع — باستخدام طريقة المحدد مع خطوات حل تفصيلية.

 اعرف المزيد
حاسبة مقدار المتجه

احسب مقدار (طول) المتجه والمتجه الوحدوي لأي متجه n-بعدي من مركباته المفصولة بفواصل. يدعم المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد وما هو أعلى.

 اعرف المزيد
حاسبة المسافة بين نقطتين

احسب المسافة المستقيمة بين نقطتين بقانون d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). احصل على Δx وΔy والمسافة d فوراً.

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗