آخر تحديث: 2026-05-20

ما هي القطعة الدائرية؟

القطعة الدائرية هي المنطقة المحصورة بين الوتر والقوس الذي يقابله. تُحدَّد بنصف القطر والزاوية المركزية، وتشمل القيم المشتقة منها: طول الوتر، والسهم (الارتفاع)، وطول القوس، ومساحة القطعة.

أنواع القطع الدائرية

يمكن تقسيم الدائرة بأكثر من طريقة؛ أبرز الأشكال الناتجة:

• القطاع الدائري — المنطقة الشبيهة بشريحة البيتزا المحدودة بشعاعين وقوس بينهما، كقطعة تُقطع من المركز.
• القطعة الدائرية — المنطقة بين وتر واحد والقوس الواقع فوقه، كشريحة تُقطع أفقياً دون المرور بالمركز.

كل وتر يُنشئ قطعتين: القطعة الصغرى (المنطقة الأصغر، حين تكون الزاوية المركزية θ < π) والقطعة الكبرى (المنطقة الأكبر). عند θ = π يمر الوتر بالمركز فتتساوى القطعتان وتصبحان نصفَي دائرة.

السهم

السهم h هو المسافة العمودية من منتصف الوتر إلى منتصف القوس، أي ارتفاع القطعة. لنصف القطر r والزاوية المركزية θ بالراديان:

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

عند θ = π (نصف دائرة) يساوي السهم نصف القطر؛ إذ يصبح الوتر قطراً ويبلغ القوس أبعد نقطة في الدائرة. عند θ صغير جداً يقترب السهم من الصفر، وعند θ = 2π يقترب من 2r (القطر الكامل).

الصيغ الرياضية

تستخدم جميع الصيغ θ بالـراديان. الحاسب يتولى تحويل الدرجات والغراديان تلقائياً.

الكمية	الصيغة
طول الوتر	$c = 2r\sin(\theta/2)$
السهم (الارتفاع)	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
طول القوس	$l = r\theta$
مساحة القطعة	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

اشتقاق صيغة المساحة

القطعة الدائرية = القطاع الدائري − المثلث متساوي الساقين المتشكّل من نصفي القطر والوتر.

• مساحة القطاع = ½r²θ
• مساحة المثلث = ½r²sin θ (القاعدة = الوتر = 2r sin(θ/2)، الارتفاع = r cos(θ/2)، وحاصل الضرب = r² sin(θ/2)cos(θ/2) = ½r²sin θ)
• مساحة القطعة = قطاع − مثلث = ½r²θ − ½r²sin θ = ½r²(θ − sin θ)

مثال محلول

نافذة دائرية نصف قطرها r = 10 م، ووتر أفقي يقابل زاوية مركزية θ = 90°.

تحويل الزاوية إلى راديان: θ = π/2 ≈ 1.5708 راديان.

• الوتر = 2 × 10 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14 م
• السهم = 10 × (1 − cos(45°)) = 10 × 0.2929 ≈ 2.93 م
• القوس = 10 × π/2 ≈ 15.71 م
• مساحة القطعة = ½ × 100 × (π/2 − 1) ≈ 50 × 0.5708 ≈ 28.54 م²

للمقارنة، مساحة الدائرة الكاملة = π × 100 ≈ 314.16 م². تشكّل هذه القطعة ذات الزاوية 90° نحو 9.1% من مساحة الدائرة.