آخر تحديث: 2026-06-04

تعريف القيمة المتوقعة

القيمة المتوقعة — ويُرمز لها بـ E[X] — هي المتوسط المرجّح بالاحتمالات لجميع النتائج الممكنة لمتغير عشوائي منفصل. لا تمثّل بالضرورة نتيجةً يمكن أن تقع فعلًا، بل تُعبّر عن القيمة التي يتقارب نحوها متوسط النتائج المتراكمة مع تكرار التجربة مرات كثيرة.

يُعدّ هذا المفهوم من أعمق الأُسس في نظرية الاحتمالات، وتستند إليه مجالات واسعة من تحليل المخاطر والتأمين إلى نظرية القرار والاقتصاد الرياضي.

الصيغة الرياضية

لمتغير عشوائي منفصل X يأخذ القيم $x_1, x_2, \dots, x_n$ باحتمالات $p_1, p_2, \dots, p_n$، تُعرَّف القيمة المتوقعة بالصيغة:

حيث يجب أن يكون $p_i \geq 0$ لكل $i$، وأن يبلغ مجموع الاحتمالات:

مثال محلول

لنفترض توزيعًا احتماليًا بثلاث نتائج:

مجموع الاحتمالات: $0.3 + 0.5 + 0.2 = 1$، وهو ما يُثبت صحة التوزيع. القيمة المتوقعة 6.5 لا تتطابق مع أيٍّ من النتائج الثلاث، لكنها المتوسط الحقيقي الذي تتقارب نحوه نتائج التجارب الكثيرة.

التباين والانحراف المعياري

القيمة المتوقعة وحدها لا تُعطي صورةً كاملةً عن التوزيع؛ إذ قد يكون توزيعان متساويَين في القيمة المتوقعة ومتباينَين تباينًا جذريًا في تشتت نتائجهما. يُكمل التباين ($\sigma^2$) هذه الصورة بقياس متوسط مربعات الانحراف عن القيمة المتوقعة:

الانحراف المعياري ($\sigma$) هو الجذر التربيعي للتباين، ويُقاس بالوحدة ذاتها للنتائج الأصلية مما يجعله أيسر تفسيرًا:

في المثال السابق:

يعني انحراف معياري مرتفع أن النتائج الفردية تتفرق على نطاق واسع حول المتوسط، في حين يدل انحراف معياري منخفض على تمركز النتائج قرب القيمة المتوقعة.

اللعبة العادلة ومفهوم المكسب

تُسمى اللعبة عادلةً إذا كانت قيمتها المتوقعة تساوي صفرًا، أي أن العائد المتوقع للاعب على المدى البعيد يعادل تكلفة المشاركة بالضبط. في هذه الحالة لا مكسب ولا خسارة متوقعَين على المدى الطويل.

إذا كانت القيمة المتوقعة موجبةً، فالتوزيع مُؤاتٍ للاعب؛ وإذا كانت سالبةً، فهو يُؤاتي الطرف المقابل. تستند شركات التأمين وكازينوهات المراهنة وصناديق الاستثمار كلها في تصميم منتجاتها وتسعيرها على هذا المفهوم.

قانون الأعداد الكبيرة

يؤكد قانون الأعداد الكبيرة أن المتوسط الحسابي لعينة من التجارب المستقلة يتقارب نحو E[X] كلما زاد عدد التجارب، بصرف النظر عن التشتت الملاحظ في التجارب الفردية. هذا القانون هو الأساس النظري لصناعات التأمين وإدارة المحافظ الاستثمارية الكبيرة: فمع حجم عمليات كافٍ، يصبح متوسط النتائج الفعلية قريبًا جدًا من التوقع الرياضي.

في المقابل، على عدد محدود من التجارب، يمكن للنتائج الفعلية أن تنحرف انحرافًا ملحوظًا عن القيمة المتوقعة، وهو ما يُقدّره الانحراف المعياري.

التطبيقات العملية

تجد القيمة المتوقعة تطبيقاتٍ متعددةً في حقول متنوعة:

• التأمين: تُحدَّد أقساط التأمين استنادًا إلى القيمة المتوقعة للخسائر، مع إضافة هامش لتغطية التكاليف والأرباح.
• الاقتصاد وتحليل القرار: تُستخدم القيمة المتوقعة لمقارنة خيارات الاستثمار والسياسات الاقتصادية ذات نتائج غير مؤكدة.
• نظرية الألعاب: تدخل في تحليل الاستراتيجيات في الألعاب الاحتمالية من البوكر إلى نماذج المناقصات التنافسية.
• الوراثة والبيولوجيا الإحصائية: تُحسب القيمة المتوقعة لعدد النسل الحامل لصفة وراثية في التوزيعات الجينية.

حدود التطبيق

ثمة حالات تكون فيها القيمة المتوقعة بمفردها معلومةً منقوصة:

• حين تكون المخاطر كبيرةً نسبةً إلى الموارد المتاحة، يظل التباين محوريًا في اتخاذ القرار، حتى مع قيمة متوقعة موجبة.
• بعض التوزيعات كتوزيع كوشي لا تملك قيمةً متوقعةً محدودة، مما يجعل الاستناد إليها وحدها مُضلِّلًا.
• القيمة المتوقعة للنتائج غير الخطية — كالمنفعة الاقتصادية — لا تتطابق مع منفعة القيمة المتوقعة نفسها، وهو ما يُعالجه إطار نظرية المنفعة المتوقعة.