آخر تحديث: 2026-06-23

أهمية حجم العينة في تقدير الوسط

حجم العينة هو عدد المفردات التي تُجمع عند مسح أو تجربة تهدف إلى تقدير متوسط، مثل متوسط زمن الانتظار أو متوسط ضغط الدم أو متوسط إنفاق الأسرة. يحدد هذا الحجم مدى دقة التقدير: فالعدد القليل من المفردات يجعل مجال الثقة واسعًا إلى حد لا يكاد ينفع، والعدد الكبير منها يهدر الوقت والمال. تخطيط حجم العينة مسبقًا يثبّت الدقة المطلوبة قبل جمع أي مشاهدة.

يتبع حجم العينة اللازم لتقدير وسط المجتمع مباشرةً من عرض مجال الثقة:

لكل حد معنى واضح:

• $n$ هو أدنى عدد من المشاهدات اللازمة.
• $z$ هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي المعياري المقابلة لمستوى الثقة، وتساوي 1.645 لمستوى 90 ٪، و1.96 لمستوى 95 ٪، و2.576 لمستوى 99 ٪.
• $\sigma$ هو الانحراف المعياري للمجتمع، وهو مقياس لمدى تشتت القيم.
• $E$ هو هامش الخطأ، أي الدقة المطلوبة بقيمة ± حول الوسط المقدَّر، بالوحدات نفسها التي يُقاس بها $\sigma$.

تشتدّ الدقة مع مربع الهامش: فتنصيف هامش الخطأ يضاعف حجم العينة أربع مرات. وكذلك مضاعفة التشتت $\sigma$ تضاعف حجم العينة أربع مرات، والانتقال من ثقة 95 ٪ إلى 99 ٪ يرفع القيمة الحرجة من 1.96 إلى 2.576، فيتضاعف المطلوب بنحو 1.7.

الحصول على قيمة لـ σ

تتطلب الصيغة الانحراف المعياري، إلا أن $\sigma$ نادرًا ما يكون معلومًا قبل إجراء الدراسة. ثلاثة تقديرات عملية تغطي معظم الحالات:

• الدراسة الاستطلاعية. تُجمع دفعة صغيرة من المشاهدات ويُستخدم انحرافها المعياري بديلًا عن $\sigma$.
• البيانات السابقة. يُعاد استخدام الانحراف المعياري الوارد في بحوث أسبق أو إحصاءات منشورة عن مجتمع مماثل.
• قاعدة المدى. عند معرفة أصغر القيم المحتملة وأكبرها فقط، يُقرَّب $\sigma \approx (\text{max} - \text{min}) / 4$، لأن معظم المجال شبه الطبيعي يمتد على نحو أربعة انحرافات معيارية.

التقدير المتحفظ (الأكبر قليلًا) هو الخيار الآمن، إذ يرفع حجم العينة بدلًا من ترك الدراسة ناقصة القدرة.

مثال محلول

لنفترض رغبة في تقدير وسط ضمن ±2 وحدة عند ثقة 95 ٪، وتشير بيانات سابقة إلى انحراف معياري قدره نحو 15. بقيمة حرجة قدرها 1.96، و$\sigma = 15$، وهامش خطأ قدره 2:

تُرجع الصيغة الدقيقة 216.09، لكن لا يمكن مسح جزء من مفردة، والتقريب لأسفل يجعل الهامش أوسع قليلًا من المطلوب. لذا تُقرَّب النتيجة دائمًا لأعلى، أي إلى 217 مشاهدة هنا.

حين لا تكفي z

تستخدم الصيغة السابقة قيمة التوزيع الطبيعي $z$، وهي العُرف المعتاد في تخطيط حجم العينة. ثمة تنبيهان جديران بالاعتبار.

العينات الصغيرة وσ المجهول. تفترض قيمة $z$ عينة كبيرة. فحين تكون مجموعة البيانات النهائية صغيرة (نحو أقل من ثلاثين) ويُقدَّر $\sigma$ من البيانات نفسها، ينبغي للتحليل ذاته استخدام توزيع $t$ الأوسع بدلًا من $z$. أما في التخطيط فإن $z$ هي نقطة البداية المعتادة لأن $n$ غير معلوم بعد؛ ومتى أصبح $n$ كبيرًا صار الفرق بين $z$ وَ$t$ مهملًا.

المجتمعات المنتهية. تفترض الصيغة البسيطة السحب من مجتمع غير منتهٍ فعليًا. فإذا كانت العينة جزءًا كبيرًا من مجتمع منته صغير حجمه $N$، يُطبَّق تصحيح المجتمع المنتهي الذي يخفض حجم العينة المطلوب:

لتقدير نسبة بدلًا من وسط، تتغير صيغة التخطيط في شكلها، انظر حاسبة حجم العينة (النسبة). وللعمل في الاتجاه المعاكس وإيجاد هامش الخطأ الذي تنطوي عليه عينة متوفرة سلفًا، تُستخدم حاسبة هامش الخطأ.