Skip to content
تاريخ الإنشاء: 20 يوليو 2026 في 09:34 م

حاسبة التوزيع الأسي

المدخلات

المعدل0.5
القيمة3
الحد الأدنى1
الحد الأعلى4

الرسم البياني

f(t)
t f(t)

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/exponential-distribution

الرياضيات

حاسبة التوزيع الأسي

احسب دالة الكثافة f(x)، ودالة التوزيع التراكمي P(X≤x)، واحتمال الذيل P(X>x)، واحتمال الفترة P(a≤X≤b)، والمتوسط والتباين والوسيط انطلاقًا من المعدل λ.

المدخلات

المعاملات

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

تفاصيل

التوزيع

f(t)
t f(t)

الخطوات

\begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \\ &= 0.5 \cdot e^{-0.5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - e^{-\lambda x} \\ &= 1 - e^{-0.5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X > x) &= e^{-\lambda x} \\ &= e^{-0.5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \\ &= e^{-0.5 \cdot 1} - e^{-0.5 \cdot 4} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{\lambda} \\ &= \dfrac{1}{0.5} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &= \dfrac{1}{0.5^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{\ln 2}{\lambda} \\ &= \dfrac{\ln 2}{0.5} \\ &= ? \end{aligned}

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

التوزيع الأسي

التوزيع الأسي هو توزيع احتمالي متصل يُستخدم لنمذجة زمن الانتظار بين أحداث مستقلة تقع بمعدل متوسط ثابت. وهو النظير المتصل لتوزيع بواسون: فبينما يَعُدّ بواسون كم حدثًا يقع في فترة ثابتة، يصف التوزيع الأسي كم من الوقت ننتظر بينها. ويظهر في هندسة الموثوقية ونظرية الطوابير وتحليل البقاء.

الصيغة

بمعلومية معامل المعدل λ > 0 والقيمة x ≥ 0، فإن دالة الكثافة (PDF) هي:

f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

تعطي دالة التوزيع التراكمي (CDF) احتمال زمن انتظار لا يتجاوز x:

P(X≤x)=1−e−λxP(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}

دالة البقاء (احتمال الذيل) هي مُتمِّمتها — احتمال استمرار الانتظار بعد x:

P(X>x)=e−λxP(X > x) = e^{-\lambda x}

احتمال وقوع زمن الانتظار في الفترة [a, b] هو فرق دالة البقاء عند الطرفين:

P(a≤X≤b)=e−λa−e−λbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

المتوسط والتباين والوسيط دوال بسيطة في المعدل:

μ=1λ,σ2=1λ2,الوسيط=ln⁡2λ\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{الوسيط} = \frac{\ln 2}{\lambda}

مثال محلول

يتلقى خط دعم مكالمات بمعدل متوسط λ = 0.5 مكالمة في الدقيقة، أي أن المتوسط الزمني بين المكالمات هو 1/0.5 = 2 دقيقة. ما احتمال وصول المكالمة التالية خلال 3 دقائق؟

باستخدام دالة التوزيع التراكمي عند x = 3:

P(X≤3)=1−e−0.5×3=1−e−1.5≈0.7769P(X \leq 3) = 1 - e^{-0.5 \times 3} = 1 - e^{-1.5} \approx 0.7769

هناك احتمال قدره 77.7 % بوصول المكالمة التالية خلال 3 دقائق. أما احتمال الانتظار أكثر من 3 دقائق فهو المُتمِّم:

P(X>3)=e−1.5≈0.2231P(X > 3) = e^{-1.5} \approx 0.2231

واحتمال وقوع الانتظار بين دقيقة و4 دقائق هو:

P(1≤X≤4)=e−0.5−e−2≈0.6065−0.1353=0.4712P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0.5} - e^{-2} \approx 0.6065 - 0.1353 = 0.4712

والكثافة عند x = 3 هي:

f(3)=0.5 e−1.5≈0.1116f(3) = 0.5 \, e^{-1.5} \approx 0.1116

اشتقاق الصيغة

تنتج دالة التوزيع التراكمي مباشرةً من تكامل الكثافة من 0 إلى x:

P(X≤x)=∫0xλe−λt dt=[−e−λt]0x=1−e−λxP(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}

ويُوجَد المتوسط بتكامل x مضروبًا في الكثافة:

μ=∫0∞x λe−λx dx=1λ\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}

ويُحلّ الوسيط من المعادلة P(X ≤ m) = 0.5:

1−e−λm=12  ⟹  e−λm=12  ⟹  m=ln⁡2λ1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}

وبما أن ln 2 ≈ 0.693 < 1، فإن الوسيط أصغر دائمًا من المتوسط 1/λ، ما يعكس التواء التوزيع نحو اليمين.

خاصية انعدام الذاكرة

التوزيع الأسي هو التوزيع المتصل الوحيد الذي لا ذاكرة له:

P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

فكونك قد انتظرت بالفعل s وحدة زمنية لا يعطي أي معلومة عن مدة الانتظار المتبقية — إذ يتبع الانتظار المتبقي التوزيع نفسه كأنك بدأت من جديد. لذلك يناسب هذا النموذج المكوّنات ذات معدل العطل الثابت — القطع التي لا "تتقادم" بالمعنى الإحصائي — وهو أساس خاصية ماركوف للعمليات ذات الزمن المتصل.

العلاقة بالتوزيعات الأخرى

  • بواسون: إذا اتبعت الأحداث عملية بواسون بمعدل λ، فإن العدد في فترة ثابتة يتبع Poisson(λ) والزمن بين الأحداث المتتالية يتبع Exponential(λ). العدّ يستخدم بواسون؛ وقياس الفواصل يستخدم الأسي.
  • الهندسي: يُنمذج التوزيع الهندسي عدد المحاولات المنفصلة حتى أول نجاح. والتوزيع الأسي هو نظيره في الزمن المتصل.
  • جاما: مجموع k من أزمنة انتظار Exponential(λ) المستقلة يتبع Gamma(k, λ) — أي الزمن حتى الحدث رقم k في عملية بواسون.
  • ويبل: التوزيع الأسي حالة خاصة من توزيع ويبل بمعامل شكل يساوي 1، وتقابل معدل خطر ثابتًا.

تطبيقات عملية

  • هندسة الموثوقية: نمذجة الزمن حتى عطل المكوّنات ذات معدل الخطر الثابت، وهي أساس مرحلة "العمر النافع" في منحنى حوض الاستحمام.
  • نظرية الطوابير: تمثيل أزمنة الوصول والخدمة في نماذج M/M/1 وما شابهها.
  • تحليل البقاء: نموذج الخطر المرجعي لبيانات الزمن-حتى-الحدث في الطب وعلم الاكتوارية.
  • الفيزياء: وصف الزمن بين حالات الاضمحلال الإشعاعي، حيث تضمحل كل نواة بشكل مستقل بمعدل ثابت.
  • الاتصالات: نمذجة زمن الخمول بين وصول الحزم في تحليل حركة الشبكات.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

متى يكون التوزيع الأسي مناسبًا؟

استخدم التوزيع الأسي لنمذجة زمن الانتظار بين أحداث مستقلة تقع بمعدل متوسط ثابت. من الأمثلة الشائعة الزمن حتى وصول العميل التالي، وعمر مكوّن ذي معدل عطل ثابت، والفاصل بين حالات الاضمحلال الإشعاعي. وهو النظير المتصل للتوزيع الهندسي وشريك زمن الانتظار لتوزيع بواسون.

ما خاصية انعدام الذاكرة؟

التوزيع الأسي هو التوزيع المتصل الوحيد الذي لا ذاكرة له: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). فكونك قد انتظرت بالفعل s وحدة زمنية لا يعطي أي معلومة عن مدة الانتظار المتبقية — إذ يتبع الانتظار المتبقي التوزيع نفسه كأنك بدأت من جديد. لهذا يُستخدم لنمذجة الأنظمة التي لا تتآكل، مثل مكوّن لا يزداد معدل عطله مع تقدم العمر.

ما الفرق بين المعدل λ والمتوسط؟

يحصي المعدل λ عدد الأحداث في وحدة الزمن، بينما يقيس المتوسط 1/λ متوسط الزمن بين الأحداث. وهما مقلوبان لبعضهما: إذا وصلت الأحداث بمعدل λ = 2 في الساعة، فإن الفاصل المتوسط هو 1/2 = 0.5 ساعة. تصف بعض المراجع التوزيع الأسي بالمتوسط (يُسمى غالبًا المقياس) بدل المعدل؛ وتستخدم هذه الحاسبة المعدل λ.

ما علاقة التوزيع الأسي بتوزيع بواسون؟

كلاهما يصف العملية نفسها من زاويتين. إذا وقعت الأحداث وفق عملية بواسون بمعدل λ، فإن عدد الأحداث في فترة ثابتة يتبع توزيع بواسون، بينما يتبع الزمن بين الأحداث المتتالية توزيعًا أسيًا بالمعدل نفسه λ. فعدّ الأحداث يستخدم بواسون؛ وقياس الفواصل يستخدم التوزيع الأسي.

التالي الموصى به

توزيع بواسون

يحسب P(X=k) و P(X≤k) و P(X≥k) لتوزيع بواسون بمعدل λ وعدد الأحداث k، مع عرض خطوات الاشتقاق ومخطط التوزيع.

 اعرف المزيد
حاسبة التوزيع الهندسي

احسب احتمال حدوث النجاح الأول في المحاولة k، والاحتمال التراكمي P(X≤k)، والوسط الحسابي والتباين للتوزيع الهندسي.

 اعرف المزيد
حاسبة التوزيع الطبيعي

احسب درجة Z والاحتمال التراكمي P(X < x) و P(X > x) والمئين لأي توزيع طبيعي بإدخال القيمة والمتوسط والانحراف المعياري.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗