آخر تحديث: 2026-06-05

المسافة العمودية من نقطة إلى خط

المسافة من نقطة P إلى خط مستقيم هي طول أقصر قطعة مستقيمة تصل P بنقطة على الخط. هذه القطعة الأقصر تكون دائمًا عمودية على الخط، ومن ثَمَّ تُسمى المسافة العمودية. للخط المعطى بالصورة القياسية Ax + By + C = 0 والنقطة P = (p_x, p_y)، تُعطى هذه المسافة بالصيغة:

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

المقام هو طول متجه المعيار (A, B) للخط، وبقسمة التعبير الجبري عليه تتحول الكمية إلى بُعد هندسي حقيقي.

الاشتقاق

متجه المعيار للخط Ax + By + C = 0 هو n = (A, B). ليكن Q = (x₀, y₀) نقطة على الخط، فيصدق عليها Ax₀ + By₀ + C = 0.

يُمثَّل متجه QP بالصورة (p_x − x₀, p_y − y₀). الإسقاط المُوقَّع لهذا المتجه على وحدة المعيار n̂ = (A, B)/|n| يساوي:

$\text{المسافة الموقعة} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

بما أن Q على الخط فإن Ax₀ + By₀ = −C، وعليه:

$\text{المسافة الموقعة} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

أخذ القيمة المطلقة يُعطي المسافة الهندسية d غير الموجَّهة. أما الإشارة، فتُشير إلى أي جانبَي الخط تقع النقطة P.

قدم العمود

قدم العمود F هي النقطة الأقرب إلى P على الخط. تُستخرج بالانتقال من P على امتداد المعيار الداخلي بمقدار t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²):

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

يمكن التحقق من أن AF_x + BF_y + C = 0 (أي أن F تقع على الخط)، وأن طول القطعة PF يساوي d.

مثال محلول

المسألة: أوجد المسافة من النقطة P = (1, −2) إلى الخط 3x − 4y + 5 = 0، وحدِّد قدم العمود.

الخطوة 1 — حساب البسط والمقام:

$Ap_x + Bp_y + C = 3(1) + (-4)(-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

الخطوة 2 — المسافة:

$d = \frac{|16|}{5} = 3.2$

الخطوة 3 — إحداثيا قدم العمود:

$t = \frac{16}{25} = 0.64$

$F_x = 1 - 3(0.64) = -0.92, \qquad F_y = -2 - (-4)(0.64) = 0.56$

التحقق: 3(−0.92) + (−4)(0.56) + 5 = −2.76 − 2.24 + 5 = 0 ✓

تقع النقطة P على بُعد 3.2 وحدة من الخط، وأقرب نقطة على الخط إليها هي F = (−0.92, 0.56).

التحويل من الصورة الميلية

إذا كان الخط معطى بالصورة الميلية y = mx + b، فيُعاد ترتيبه على النحو:

$mx - y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

فالخط y = 2x − 3 يُكتب 2x − y − 3 = 0، أي A = 2 وB = −1 وC = −3.

ضرب المعاملات جميعها بثابت غير صفري لا يغير الخط ولا المسافة المحسوبة؛ إذ يتساوى الضرب في البسط والمقام فيتلغيان.

المسافة المُوقَّعة

تُخرج الحاسبة المسافة غير الموجَّهة d ≥ 0. غير أن الكمية (Ap_x + Bp_y + C) / √(A² + B²) مُوقَّعة بحسب الجانب الذي تقع فيه P: القيمة موجبة حين تكون P في جانب اتجاه المعيار، وسالبة في الجانب الآخر. تُستخدم المسافة المُوقَّعة في تطبيقات كالتحقق من انتماء نقطة إلى شطر مستوٍ بعينه، أو في خوارزميات تصنيف نقاط البيانات.

حالات خاصة

• النقطة على الخط: Ap_x + Bp_y + C = 0، فتكون d = 0 وF = P.
• خط أفقي (A = 0): تُبسَّط الصيغة إلى d = |By + C| / |B|.
• خط رأسي (B = 0): تُبسَّط الصيغة إلى d = |Ax + C| / |A|.
• معادلة منحلة (A = B = 0): إذا كان C = 0 فكل نقطة تحقق المعادلة، وإذا كان C ≠ 0 فلا نقطة تحققها؛ وفي الحالتين لا تُعرَّف المسافة.

الصلة بنظرية فيثاغورس

يمكن تصوُّر الاشتقاق هندسيًا: تُشكِّل النقطة P وقدم العمود F وأي نقطة ثالثة Q على الخط مثلثًا قائم الزاوية عند F. الوتر PQ يُحقق PQ² = PF² + FQ²، مما يؤكد أن PF (المسافة العمودية) هي الأقصر بين جميع القطع المتصلة من P بنقطة على الخط.