آخر تحديث: 2026-07-01

ماذا تفعل هذه الآلة الحاسبة

تحل هذه الآلة جملة من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل x وy وz:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

انطلاقاً من المعاملات والثوابت الاثني عشر، تطبّق قاعدة كرامر لإيجاد الحل الوحيد (x, y, z)، أو تُظهر «لا يوجد حل وحيد» عندما تكون مصفوفة المعاملات شاذة.

قاعدة كرامر لجملة 3×3

تعبّر قاعدة كرامر عن كل مجهول بوصفه نسبة بين محدِّدات. نحسب أولاً محدِّد مصفوفة المعاملات:

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

عندما يكون D ≠ 0 يكون الحل الوحيد:

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

كل محدِّد في البسط هو محدِّد المعاملات بعد استبدال عمود واحد بعمود الثوابت (d₁, d₂, d₃):

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

ينبع هذا مباشرة من الجبر الخطي: من أجل مصفوفة A غير شاذة، يكون حل Av = d هو v = A⁻¹d، وقاعدة كرامر هي ذلك المعكوس مكتوباً محدِّداً تلو الآخر.

المعنى الهندسي

كل معادلة تصف مستوياً في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وحل الجملة يكافئ إيجاد النقطة التي تتلاقى عندها المستويات الثلاثة.

• D ≠ 0 (حل وحيد): تتقاطع المستويات الثلاثة في نقطة واحدة بالضبط، ومصفوفة المعاملات قابلة للعكس.
• D = 0 (لا يوجد حل وحيد): لا تتلاقى المستويات في نقطة واحدة. فهي إما تشترك في خط مستقيم (عدد لا نهائي من الحلول) أو لا تملك أي نقطة مشتركة (لا حل). ولا تستطيع قاعدة كرامر إعطاء إجابة وحيدة في هذه الحالة.

مثال محلول

لنحل الجملة الافتراضية:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

الخطوة 1 — محدِّد مصفوفة المعاملات:

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

‏D ≠ 0، إذن يوجد حل وحيد.

الخطوة 2 — إيجاد x (نستبدل عمود x بالثوابت):

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

الخطوة 3 — إيجاد y (نستبدل عمود y بالثوابت):

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

الخطوة 4 — إيجاد z (نستبدل عمود z بالثوابت):

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

التحقق:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

عندما يكون المحدِّد صفراً

إذا كان D = 0، تكون صفوف مصفوفة المعاملات الثلاثة مترابطة خطياً — أي إن إحدى المعادلات تركيب للأخريين. وهناك احتمالان:

• عدد لا نهائي من الحلول: الثوابت متوافقة مع الترابط، فتشترك المستويات في خط كامل من النقاط المشتركة.
• لا حل: الثوابت تناقض الترابط، فلا تلتقي المستويات أبداً في نقطة واحدة.

تنطبق قاعدة كرامر فقط عندما يكون D ≠ 0، ولذلك تُظهر الآلة «لا يوجد حل وحيد» بمجرد أن يصبح D = 0. ولتصنيف الحالة المتدهورة بدقة، اختزل المصفوفة الموسّعة بطريقة حذف غاوس وقارن رتبة مصفوفة المعاملات برتبة المصفوفة الموسّعة.

التطبيقات

تظهر الجمل الخطية ذات المتغيرات الثلاثة في مقررات الجبر والتحليل التمهيدي، وفي تحليل الدارات (قوانين كيرشوف عبر ثلاث حلقات)، وفي موازنة التفاعلات الكيميائية، وفي أي موقف يجب فيه تحقيق ثلاثة شروط خطية في آن واحد. تقدّم قاعدة كرامر إجابة مباشرة في صيغة مغلقة، مما يجعلها مريحة للتحقق من جملة صغيرة أو للتعبير عن الحل بصورة رمزية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ماذا يخبرني المحدِّد؟

يحدد المحدِّد D لمصفوفة المعاملات ما إذا كانت للجملة إجابة وحيدة. فعندما يكون D ≠ 0 تتقاطع المستويات الثلاثة في نقطة واحدة بالضبط، فتتحدد x وy وz بشكل وحيد. وعندما يكون D = 0 تكون المستويات مرتبة بحيث تشترك في خط كامل أو لا تشترك في أي نقطة، ولا تستطيع قاعدة كرامر إعطاء حل واحد.

ما الفرق بين قاعدة كرامر والحذف؟

يصل حذف غاوس والتعويض إلى النتيجة نفسها عبر عمليات على الصفوف خطوة بخطوة. أما قاعدة كرامر فتكتب كل مجهول مباشرة كنسبة بين محدِّدات: x = Dₓ/D وy = D_y/D وz = D_z/D. وهي مناسبة للحصول على صيغة مغلقة وللجمل التي ترغب في تقييمها رمزياً، رغم أن الحذف عادةً أسرع للجمل الأكبر.

لماذا تظهر «لا يوجد حل وحيد» في جملتي؟

تظهر هذه الرسالة كلما كان D = 0. عندئذٍ تكون المعادلات الثلاث مترابطة خطياً: إحداها على الأقل تركيب للأخريين. وبحسب قيم الثوابت، إما أن يكون للجملة عدد لا نهائي من الحلول (المستويات تشترك في خط) أو لا حل لها (المستويات لا تلتقي في نقطة مشتركة). قاعدة كرامر تنطبق فقط عندما يكون D ≠ 0، لذلك تتوقف هنا.

كيف أتحقق من صحة الحل؟

عوّض بقيم x وy وz الناتجة في المعادلات الأصلية الثلاث. ينبغي أن يساوي كل طرف أيسر طرفه الأيمن (d₁ وd₂ وd₃). وبما أن الحل يُحسب من نسب دقيقة بين المحدِّدات، فمن الطبيعي حدوث تقريب طفيف في الأرقام العشرية المعروضة؛ أما القيم الداخلية فتحقق المعادلات بدقة كاملة.