مدقق قواعد القسمة
المدخلات
| العدد الصحيح | 12,345 |
|---|
مدقق قواعد القسمة
تحقق من قابلية قسمة عدد صحيح على الأعداد من 2 إلى 11 باستخدام قواعد مجموع الأرقام وقاعدة الرقم الأخير.
القابلية للقسمة من المفاهيم الأساسية في نظرية الأعداد: يُقال إن العدد الصحيح n يقبل القسمة على العدد الصحيح غير الصفري d إذا كان ناتج قسمة n ÷ d عددًا صحيحًا بلا باقٍ — أي إذا وُجد عدد صحيح k بحيث n = d × k. يُطبّق هذا الحاسب القواعد القياسية للقابلية للقسمة على كل قاسم من القواسم 2 إلى 11، ويُظهر نتيجة الاختبار لكل قاسم على حدة.
قواعد القسمة لكل قاسم
القسمة على 2
يقبل العدد القسمةَ على 2 إذا وإذا فقط كان رقمه الأخير زوجيًا (0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8). ويعود ذلك إلى أن 10 ≡ 0 (mod 2)، فكل منزلة عدا منزلة الآحاد تُسهم بمضاعف من 2 في قيمة العدد.
القسمة على 3
تُجمع أرقام العدد، فإن كان مجموعها يقبل القسمة على 3 كان العدد نفسه كذلك. مثلاً، مجموع أرقام 12345 هو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15، و15 ÷ 3 = 5 بدون باقٍ، إذن 12345 يقبل القسمة على 3. تصح هذه القاعدة لأن 10 ≡ 1 (mod 3)، فيُحسب كل رقم بوزنه الحقيقي في مجموع الباقي.
القسمة على 4
يُنظر في الرقمين الأخيرين فحسب: إن كان العدد المكوّن منهما يقبل القسمة على 4 كان العدد بأكمله كذلك. فلـ12345 الرقمان الأخيران هما 45؛ و45 ÷ 4 = 11.25، إذن 12345 لا يقبل القسمة على 4. يصح هذا الاختصار لأن 100 = 4 × 25، فالمنازل من المئات فأعلى لا تُؤثر في الباقي عند القسمة على 4.
القسمة على 5
يقبل العدد القسمةَ على 5 إذا كان رقمه الأخير 0 أو 5. والمنطق مطابق لمنطق القسمة على 2: 10 ≡ 0 (mod 5)، فرقم الآحاد وحده هو المؤثر في الباقي.
القسمة على 6
يقبل العدد القسمةَ على 6 إذا وإذا فقط كان يقبل القسمةَ على 2 وعلى 3 معًا. وذلك لأن 6 = 2 × 3 والعاملان أوليان نسبيًا — أي أن gcd(2, 3) = 1 — فكلا الشرطين مستقل عن الآخر، ولا بد من تحقق الاثنين معًا.
القسمة على 7
لا توجد خطوة واحدة تختصر اختبار القسمة على 7، لكن ثمة طريقة تكرارية عملية: ضاعف الرقم الأخير، ثم اطرح الناتج من العدد المتشكّل من الأرقام المتبقية، وكرر العملية حتى يصبح العدد صغيرًا يُعرف حكمه مباشرةً. إن كانت النتيجة النهائية 0 أو مضاعفًا لـ7 كان العدد الأصلي يقبل القسمة على 7. لاختبار 343: مضاعف الرقم الأخير 3 هو 6، نطرحه من 34 فنحصل على 28؛ و28 ÷ 7 = 4 بدون باقٍ، إذن 343 يقبل القسمة على 7. يحسب هذا الحاسب الباقي مباشرةً عبر عملية المودولو، مما يُغني عن الخطوات التكرارية في الأعداد الكبيرة.
القسمة على 8
يُنظر في الأرقام الثلاثة الأخيرة فحسب: إن كان العدد المكوّن منها يقبل القسمة على 8 كان العدد بأكمله كذلك، وذلك لأن 1000 = 8 × 125 يقبل القسمة على 8 تمامًا. فلـ12345 الأرقام الثلاثة الأخيرة هي 345؛ و345 ÷ 8 = 43.125، إذن 12345 لا يقبل القسمة على 8.
القسمة على 9
تُطبَّق قاعدة مجموع الأرقام ذاتها المستخدمة في القسمة على 3، لكن مع اختبار القسمة على 9. فلـ12345 مجموع الأرقام = 15؛ و15 ÷ 9 = 1.67، إذن 12345 لا يقبل القسمة على 9. والعلة نفسها: 10 ≡ 1 (mod 9).
القسمة على 10
يقبل العدد القسمةَ على 10 إذا وإذا فقط كان رقمه الأخير 0. وهذا يجمع شرطَي القسمة على 2 وعلى 5 في آنٍ واحد.
القسمة على 11
يُحسب المجموع المتعاقب للأرقام: يُطرح الرقم الثاني من الأول، ثم يُضاف الثالث، ثم يُطرح الرابع، وهكذا بدءًا من أقصى اليمين (منزلة الآحاد). إن كان الناتج 0 أو مضاعفًا لـ11 كان العدد يقبل القسمة على 11. فلـ12345 بدءًا من اليمين: 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3؛ و3 ليس مضاعفًا لـ11، إذن 12345 لا يقبل القسمة على 11. والسبب الجذري: 10 ≡ −1 (mod 11)، فيُسهم كل رقم بـ+1 أو −1 من قيمته بالتناوب.
مثال تطبيقي
هل العدد 55440 يقبل القسمة على كل عدد من 2 إلى 11؟
- على 2: الرقم الأخير 0 → نعم
- على 3: مجموع الأرقام 5 + 5 + 4 + 4 + 0 = 18؛ 18 ÷ 3 = 6 → نعم
- على 4: الرقمان الأخيران 40؛ 40 ÷ 4 = 10 → نعم
- على 5: الرقم الأخير 0 → نعم
- على 6: يقبل القسمة على 2 وعلى 3 معًا → نعم
- على 7: 55440 ÷ 7 = 7920 بدون باقٍ → نعم
- على 8: الأرقام الثلاثة الأخيرة 440؛ 440 ÷ 8 = 55 → نعم
- على 9: مجموع الأرقام 18؛ 18 ÷ 9 = 2 → نعم
- على 10: الرقم الأخير 0 → نعم
- على 11: المجموع المتعاقب 0 − 4 + 4 − 5 + 5 = 0 → نعم
إن 55440 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 يقبل القسمة على جميع القواسم العشرة من 2 إلى 11.
الحالة الخاصة: الصفر
الصفر يقبل القسمة على كل عدد صحيح غير صفري. فبموجب التعريف، يلزم وجود عدد صحيح k بحيث 0 = d × k؛ ويكفي اختيار k = 0 لأي قيمة غير صفرية لـd. ويُعيد هذا الحاسب «يقبل القسمة» للصفر في جميع الاختبارات العشرة.
حد الدقة الحسابية
يعتمد الحاسب الحساب بنقطة عائمة مزدوجة الدقة (64 بت)، التي تُمثّل الأعداد الصحيحة بصورة دقيقة حتى 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵. بالنسبة للأعداد التي تتجاوز 10¹⁵ في قيمتها المطلقة، قد تُفضي أخطاء التقريب إلى نتائج غير صحيحة. لمسائل قابلية القسمة على أعداد كبيرة جدًا، يُستحسن استخدام مكتبات متخصصة في الحساب الدقيق التعسفي.
الأسئلة الشائعة (FAQ)
لماذا تنجح قاعدة مجموع الأرقام في اختبار القسمة على 3 و9؟
كل قوة من قوى العشرة تُعطي باقي 1 عند قسمتها على 9 (وكذلك على 3): فـ10 ≡ 1، و100 ≡ 1، و1000 ≡ 1، وهكذا، جميعها بالحساب المودولي 9. ومن ثمّ فإن قيمة أي عدد بالحساب المودولي 9 تساوي مجموع أرقامه بالحساب المودولي 9.
مثلاً، مجموع أرقام 12345 هو 1+2+3+4+5 = 15، و15 mod 9 = 6، فالعدد 12345 لا يقبل القسمة على 9. ينطبق المنطق ذاته على القسمة على 3، إذ إن 10 ≡ 1 (mod 3) أيضًا.
ما قاعدة القسمة على 7؟
تُطبَّق القاعدة التكرارية الآتية: يُضاعَف الرقم الأخير، ثم يُطرح الناتج من العدد المتشكّل من الأرقام المتبقية، وتُكرَّر العملية حتى يصبح العدد صغيرًا يُعرف حكمه مباشرةً.
مثال: لاختبار 343، الرقم الأخير 3 ومضاعفه 6، يُطرح من 34 فيُعطي 28؛ و28 ÷ 7 = 4 بدون باقٍ، إذن 343 يقبل القسمة على 7. يحسب هذا الحاسب الباقي مباشرةً عبر عملية المودولو، مما يُغني عن الخطوات التكرارية في الأعداد الكبيرة.
هل الصفر يقبل القسمة على كل الأعداد؟
وفق التعريف القياسي، يقبل العدد الصحيح أ القسمةَ على العدد الصحيح غير الصفري د إذا وُجد عدد صحيح ك بحيث أ = د × ك. فإذا كان أ = 0، يكفي اختيار ك = 0، إذ 0 = د × 0 يصح لأي قيمة غير صفرية لـد.
وعليه، فإن الصفر يقبل القسمة على كل عدد صحيح غير صفري، ويُعيد هذا الحاسب «يقبل القسمة» لجميع القواسم من 2 إلى 11 حين تكون n = 0.
هل توجد قواعد قسمة للأعداد الأولية الأكبر من 11؟
نعم، وإن كانت تزداد تعقيدًا مع الأعداد الأكبر:
- القسمة على 13: يُضاعَف الرقم الأخير أربع مرات ويُضاف الناتج إلى بقية العدد، ثم تُكرَّر العملية.
- القسمة على 17: يُضاعَف الرقم الأخير خمس مرات ويُطرح الناتج.
- القسمة على 19: يُضاعَف الرقم الأخير مرتين ويُضاف الناتج.
تستند هذه القواعد إلى مفهوم المقلوب الضربي لـ10 بالحساب المودولي للعدد الأولي، وهو المبدأ ذاته الكامن وراء قواعد 7 و11. في التطبيق العملي، تظل القسمة المباشرة أو الحاسب أيسر من التلاعب بالأرقام لأي عدد أولي أكبر من 13.