آخر تحديث: 2026-05-18

ما هو الهرم؟

الهرم جسم هندسي ثلاثي الأبعاد تكون قاعدته شكلًا متعدد الأضلاع، وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي جميعها في نقطة واحدة تُسمى القمة أو الرأس. تختص هذه الحاسبة بالأهرامات القائمة ذات القاعدة المستطيلة، وتُعدّ القاعدة المربعة حالة خاصة منها. أدخل أبعاد القاعدة والارتفاع للحصول على جميع القيم دفعة واحدة.

الصيغ الرياضية

بفرض طول القاعدة $l$، وعرضها $w$، والارتفاع الرأسي $h$:

مساحة القاعدة:

الحجم — يساوي ثلث حجم المنشور ذي القاعدة والارتفاع نفسيهما:

الارتفاع المائل — المسافة من القمة إلى منتصف ضلع القاعدة مقيسةً على طول الوجه المثلثي. للهرم المستطيل القاعدة، يختلف الارتفاع المائل بين الوجهين الأماميين/الخلفيين والوجهين الجانبيين:

للهرم المربع القاعدة ($l = w = a$) يتساوى الارتفاعان المائلان: $l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

المساحة الجانبية — مجموع مساحات الأوجه المثلثية الأربعة:

المساحة الكلية:

معامل الثلث في حجم الهرم

عُرف منذ العصور القديمة أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور ذي القاعدة والارتفاع المساويين له. يقدم البرهان الكلاسيكي ثلاثة أهرامات مربعة متطابقة تُجمَع لتكوّن مكعبًا واحدًا، وكل هرم يشغل $\frac{1}{3}$ من حجم المكعب. أما البرهان العام فيعتمد على مبدأ كافاليري: المقطع العرضي على الارتفاع $z$ تكون مساحته $A_b \times (1 - z/h)^2$، ويُعطي التكامل من $0$ إلى $h$ القيمة $\frac{1}{3} A_b h$.

الارتفاع المائل مقابل الارتفاع الرأسي

الارتفاع الرأسي $h$ هو المسافة العمودية من القمة إلى مستوى القاعدة. أما الارتفاع المائل $l_s$ فهو المسافة من القمة إلى منتصف ضلع القاعدة مقيسةً على سطح الوجه المثلثي، وهو يمثل ارتفاع الوجه المثلثي ذاته. تربطهما علاقة المثلث القائم: $l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$، حيث $r$ هي المسافة من مركز القاعدة إلى منتصف الضلع المقابل.

عمليًا، الارتفاع المائل هو المسافة التي تُقاس بمسطرة توضع على وجه الهرم من القمة حتى منتصف الضلع السفلي.

مثال تطبيقي: الهرم الأكبر بالجيزة

الهرم الأكبر (خوفو) بالجيزة مثال حسابي موثق الأبعاد: قاعدته المربعة نحو 230.4 م، وارتفاعه الأصلي نحو 146.5 م.

مساحة القاعدة: $A_b = 230.4^2 = 53{,}084 \text{ م}^2 \approx 5.3 \text{ هكتار}$

الحجم: $V = \frac{1}{3} \times 53{,}084 \times 146.5 \approx 2{,}592{,}000 \text{ م}^3$

أي نحو 2.6 مليون متر مكعب، يعادل ما يملأ نحو 1,000 حوض سباحة أولمبي.

الارتفاع المائل: $l_s = \sqrt{146.5^2 + 115.2^2} \approx 186.4 \text{ م}$

المساحة الجانبية: $A_{lat} \approx 85{,}893 \text{ م}^2 \approx 8.6 \text{ هكتار}$

تُوضح هذه الأرقام حجم المواد المستخدمة والتحديات الهندسية التي اقتضت التخطيط الدقيق للأبعاد.