آخر تحديث: 2026-07-01

النمو والاضمحلال الأُسّي

تنمو الكمية أو تضمحلّ أُسّيًّا عندما يكون معدّل تغيّرها متناسبًا مع حجمها الحالي. فكلما كبرت تغيّرت أسرع. يصف هذا النمط أعداد السكان، والأرصدة ذات الفائدة المركّبة، والمواد المشعّة، وتركيزات الأدوية، والانتشار المبكر للوباء. والنموذج المشترك وراءها جميعًا هو:

N = N₀ (1 ± r)^t

حيث N₀ القيمة الابتدائية، وr المعدّل لكل فترة، وt الزمن المنقضي، وN الكمية بعد ذلك الزمن. تعطي إشارة الجمع نموًّا، وإشارة الطرح اضمحلالًا.

النمو مقابل الاضمحلال

الفرق الوحيد بين النمو والاضمحلال هو إشارة المعدّل. في النمو يكون العامل (1 + r) أكبر من 1، فتُضخَّم الكمية في كل فترة ويرتفع المنحنى بحدّة متزايدة. في الاضمحلال يقع العامل (1 − r) بين 0 و1، فتُصغَّر الكمية في كل فترة ويهبط المنحنى نحو الصفر دون أن يبلغه أبدًا.

المتقطّع مقابل المستمر

ثمّة طريقتان شائعتان لتطبيق المعدّل.

النموذج المتقطّع N₀ (1 ± r)^t يطبّق المعدّل مرة واحدة لكل فترة كاملة. يناسب الحالات التي تتغيّر بخطوات: فائدة تُضاف مرة في السنة، تعداد سكاني لكل جيل، رصيد يُحدَّث كل شهر.

النموذج المستمر N₀ · e^(kt) يطبّق المعدّل في كل لحظة، حيث k المعدّل المستمر وe ≈ 2.71828. يناسب العمليات التي تتغيّر بسلاسة طوال الوقت: الاضمحلال الإشعاعي، الفائدة المركّبة باستمرار، التفاعلات الكيميائية من الرتبة الأولى. وعند المعدّل الاسمي نفسه ينمو النموذج المستمر أسرع قليلًا، لأن كل زيادة صغيرة تبدأ التركيب فورًا.

زمن التضاعف وعمر النصف

لأن المعدّل نسبة مئوية ثابتة، تستغرق الكمية المتنامية الزمن نفسه لتتضاعف بصرف النظر عن حجمها الحالي، وتستغرق الكمية المضمحلّة الزمن نفسه لتنخفض إلى النصف. هذان الثابتان هما زمن التضاعف وعمر النصف.

للنموذج المتقطّع:

• زمن التضاعف = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• عمر النصف = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

وللنموذج المستمر يختزل الاثنان إلى ln 2 ÷ k، لأن مقدار المعدّل واحد في كلا الاتجاهين.

من الاختصارات المفيدة قاعدة 70: اقسم 70 على المعدّل المئوي لتقدير زمن التضاعف. فعند 5% سنويًّا يستغرق التضاعف نحو 70 ÷ 5 = 14 سنة، وهو قريب من القيمة الدقيقة 14.21 سنة.

مثال محلول

المسألة: بلدة عدد سكانها 1000 شخص تنمو بنسبة 5% سنويًّا. كم يبلغ عدد السكان بعد 10 سنوات، وكم تستغرق البلدة لتتضاعف؟

باستخدام النموذج المتقطّع للنمو:

N = 1000 × (1 + 0.05)^10 = 1000 × 1.62889 ≈ 1629 شخصًا

زمن التضاعف = ln 2 ÷ ln(1.05) ≈ 0.6931 ÷ 0.04879 ≈ 14.21 سنة

إذن بعد عقد يبلغ عدد السكان نحو 1629، وبهذا المعدّل سيصل إلى 2000 خلال أربعة عشر عامًا ونيّف.

مثال على الاضمحلال

المسألة: جرعة 200 مغ من دواء تضمحلّ باستمرار بمعدّل 0.231 في الساعة. كم يتبقّى بعد 6 ساعات، وما عمر النصف؟

N = 200 × e^(−0.231 × 6) = 200 × e^(−1.386) ≈ 50 مغ

عمر النصف = ln 2 ÷ 0.231 ≈ 3 ساعات

نتيجة 50 مغ بعد 6 ساعات تساوي تمامًا رُبع الجرعة، وهذا منطقي: فست ساعات تعادل عمرَي نصف، أي أن الكمية انخفضت إلى النصف مرتين.

العلاقة بالفائدة المركّبة

النمو الأُسّي هو المحرّك الرياضي للفائدة المركّبة. فالنموذج المتقطّع، حيث r معدّل الفائدة الدوري، مطابق لصيغة الفائدة المركّبة، والنموذج المستمر يوافق الفائدة المركّبة باستمرار. تحافظ هذه الأداة على صياغة عامة كي تنطبق على الأحياء والفيزياء والمالية على حدّ سواء.