آخر تحديث: 2026-07-13

القيم الشاذة وطريقة المدى الربيعي

القيمة الشاذة هي قيمة تقع بعيدًا عن بقية مجموعة البيانات. وقد تكون القيم الشاذة حقيقية — يوم مبيعات قياسي، أو شخص شديد الطول — أو أخطاءً، مثل رقم مكتوب بشكل غير صحيح أو قراءة مستشعر معطوبة. وفي كلتا الحالتين تشوّه المتوسطات وتضخّم مقاييس التشتت، لذا يفيد وجود قاعدة متسقة لاكتشافها.

طريقة المدى الربيعي (IQR)، التي قدّمها الإحصائي جون تيوكي، من أكثر القواعد استخدامًا. فبدلًا من الاعتماد على المتوسط والانحراف المعياري — اللذين تجذبهما القيم المتطرفة نفسها — تبني حدودها من الربيعيات، وهي أكثر استقرارًا بكثير. وهذا يجعلها خيارًا افتراضيًا موثوقًا، خصوصًا للبيانات المنحرفة.

الربيعيات والمدى الربيعي

رتّب البيانات واقسمها إلى أربعة أجزاء متساوية. ونقاط الفصل هي الربيعيات:

• Q1، الربيع الأول، هو المئين الخامس والعشرون: ربع القيم يقع دونه.
• Q2 هو الوسيط، المئين الخمسون.
• Q3، الربيع الثالث، هو المئين الخامس والسبعون: ثلاثة أرباع القيم تقع دونه.

المدى الربيعي هو المسافة بين الربيعين الخارجيين:

IQR = Q3 − Q1

وهو يقيس تشتت النصف الأوسط من البيانات ويتجاهل الأطراف تمامًا، وهذا بالضبط سبب مقاومته لتأثير القيم الشاذة.

قاعدة 1.5×IQR

تضع الطريقة حدّين، يُسميان الحدود (الأسوار)، على جانبي الصندوق المركزي:

• الحد الأدنى = Q1 − 1.5 × IQR
• الحد الأعلى = Q3 + 1.5 × IQR

وأي قيمة أقل من الحد الأدنى أو أكبر من الحد الأعلى تُوسَم قيمة شاذة. والمُعامِل 1.5 هو عُرف تيوكي: فبالنسبة إلى البيانات الطبيعية يقع على بُعد نحو 2.7 انحراف معياري من المتوسط، بحيث لا يُتوقع أن يقع خارجه بمحض الصدفة سوى نحو 0.7% من القيم. ومُعامِل أصغر سيوسم الكثير من النقاط العادية، وأكبر سيتجاوز الشذوذ الحقيقي.

مثال محلول

لنأخذ المجموعة 10, 12, 12, 13, 12, 11, 40, 12, 11. بعد الترتيب تصبح:

10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 40

عدد القيم n = 9. وبالاستيفاء الخطي بين الإحصاءات الترتيبية:

• Q1 (المئين 25) = 11
• Q3 (المئين 75) = 12
• IQR = 12 − 11 = 1

ويتبع الحدّان مباشرة:

• الحد الأدنى = 11 − 1.5 × 1 = 9.5
• الحد الأعلى = 12 + 1.5 × 1 = 13.5

نقارن الآن كل قيمة بالحدود. فكل ما بين 10 و13 يقع مرتاحًا في الداخل، لكن 40 أعلى بكثير من الحد الأعلى 13.5. فالقيمة 40 إذن هي القيمة الشاذة الوحيدة في هذه المجموعة — وهو ما يتفق مع الحدس بأن قيمة واحدة لا تنتمي بوضوح إلى البقية.

القيم الشاذة الخفيفة والمتطرفة

كثيرًا ما تُطبَّق القاعدة على مستويين. فالقيم خارج حدود 1.5×IQR تُسمى قيمًا شاذة خفيفة. وبتوسيع الحدود إلى 3.0×IQR نحصل على القيم الشاذة المتطرفة:

• الحد المتطرف الأدنى = Q1 − 3.0 × IQR
• الحد المتطرف الأعلى = Q3 + 3.0 × IQR

وكل قيمة متطرفة هي أيضًا خفيفة، لكن العكس غير صحيح. ويساعد التمييز بينهما على ترتيب الأولويات: فالقيمة الخفيفة كثيرًا ما تكون مجرد ملاحظة كبيرة أو صغيرة بطبيعتها، بينما القيمة المتطرفة بعيدة عن الباقي إلى حدٍّ يجعل خطأ الإدخال أو الحدث النادر فعلًا أكثر احتمالًا. تستخدم هذه الحاسبة حدود 1.5×IQR المعيارية؛ وللتحقق من القيم المتطرفة، أعِد حساب الحدود بمُعامِل 3.0.

العلاقة بمخطط الصندوق

طريقة المدى الربيعي هي الرياضيات الكامنة وراء مخطط الصندوق. فالصندوق يمتد من Q1 إلى Q3، ويشير خط داخله إلى الوسيط، وتمتد الشوارب إلى أبعد القيم التي لا تزال داخل حدود 1.5×IQR. وأي نقطة تتجاوز الشوارب تُرسم منفردة بوصفها قيمة شاذة. وقراءة مخطط الصندوق هي إذن نسخة بصرية من هذا الحساب بالضبط.

ماذا تفعل بالقيمة الشاذة

اكتشاف قيمة شاذة هو بداية تحقيق، لا أمر بحذفها. ابدأ بالتحقق مما إذا كانت القيمة خطأً — وحدة خاطئة، أو فاصلة عشرية منزاحة، أو إدخالًا مكررًا — وصحّحها إن كان الأمر كذلك. وإن كانت القيمة حقيقية، فقد تحمل أكثر المعلومات إثارةً في المجموعة كلها، وطرحها سيُخفي شيئًا يستحق الفهم.

وعند الإبقاء على القيم الشاذة، تصف المُلخصات المتينة مثل الوسيط والمدى الربيعي البيانات بأمانة أكبر من المتوسط والانحراف المعياري، اللذين قد تشوّههما قيمة متطرفة واحدة. وأي قرار باستبعاد نقطة ينبغي توثيقه وتبريره، لا اتخاذه بصمت.

حاسبات ذات صلة

• حاسبة المئينات والربيعيات — الربيعيات والمئينات لمجموعة بيانات
• حاسبة الوسط الحسابي والوسيط والمنوال — مقاييس المركز، بما فيها الوسيط المتين
• حاسبة التباين والانحراف المعياري — التشتت مقيسًا من المتوسط
• حاسبة الإحصاء الوصفي — ملخص كامل لمجموعة بيانات