آخر تحديث: 2026-06-05

المئين هو قيمة في مجموعة بيانات يقع دونها نسبة محددة من القيم؛ فالمئين الخامس والسبعون يعني أن 75٪ من القيم المرتبة تصغره أو تساويه. الربيعيات الثلاثة — Q1 (المئين 25) وQ2 (المئين 50) وQ3 (المئين 75) — تُقسّم البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية، وتُكمل الصورة مقياسُ المدى الربيعي (IQR) الذي يُعبّر عن تشتت النصف الأوسط من البيانات.

طريقة الاستيفاء الخطي

تعتمد الحاسبة طريقة الاستيفاء الخطي الشاملة، المعروفة بالطريقة 7 في R، وهي الطريقة الافتراضية في Excel (PERCENTILE.INC) وفي دالة numpy.percentile في Python. يجري الحساب على ثلاث خطوات:

1. ترتيب القيم الـ n تصاعدياً.
2. حساب الموضع الكسري: position = (n − 1) × p / 100.
3. تحديد lo = ⌊position⌋ و hi = ⌈position⌉ ونسبة الكسر frac = position − lo، ثم: المئين = sorted[lo] + frac × (sorted[hi] − sorted[lo]).

حين يكون position عدداً صحيحاً، تصبح نسبة الكسر صفراً وتُعاد القيمة مباشرةً دون استيفاء. عند p = 0 يكون الناتج هو الحد الأدنى، وعند p = 100 هو الحد الأقصى.

مثال محلول

لتكن مجموعة البيانات: 4, 8, 15, 16, 23, 42 — ست قيم مرتبة تصاعدياً.

Q1 (p = 25): position = (6 − 1) × 0.25 = 1.25. القيمة عند الفهرس 1 هي 8، وعند الفهرس 2 هي 15. Q1 = 8 + 0.25 × (15 − 8) = 8 + 1.75 = 9.75.

Q2 / الوسيط (p = 50): position = 5 × 0.50 = 2.5. القيمتان عند الفهرسين 2 و3 هما 15 و16. Q2 = 15 + 0.5 × (16 − 15) = 15.5.

Q3 (p = 75): position = 5 × 0.75 = 3.75. القيمتان عند الفهرسين 3 و4 هما 16 و23. Q3 = 16 + 0.75 × (23 − 16) = 16 + 5.25 = 21.25.

المدى الربيعي = Q3 − Q1 = 21.25 − 9.75 = 11.5. يمتد النصف الأوسط من البيانات إذن على مسافة 11.5 وحدة.

للحصول على المئين العاشر: position = 5 × 0.10 = 0.5. القيمتان عند الفهرسين 0 و1 هما 4 و8. P10 = 4 + 0.5 × (8 − 4) = 6.0.

الربيعيات والمخطط الصندوقي

الملخص الخُماسي — الحد الأدنى وQ1 وQ2 وQ3 والحد الأقصى — هو أساس المخطط الصندوقي (box plot). يمتد الصندوق من Q1 إلى Q3، ويُرسم وسيطُ البيانات Q2 خطاً داخله، وتمتد الشوارب إلى أبعد القيم الواقعة ضمن حدَّي الشواذ:

• الحد الأدنى للشواذ: Q1 − 1.5 × IQR
• الحد الأعلى للشواذ: Q3 + 1.5 × IQR

في مجموعة البيانات السابقة: الحد الأدنى = 9.75 − 17.25 = −7.5، والحد الأعلى = 21.25 + 17.25 = 38.5. القيمة 42 تتجاوز هذا الحد، فتُصنَّف قيمةً شاذة خفيفة.

المدى الربيعي مقياساً قوياً للتشتت

يتميز المدى الربيعي بعدم تأثره بالقيم الشاذة، خلافاً للانحراف المعياري الذي يتضخم حين تُضاف قيمة متطرفة واحدة. هذه الخاصية تجعله المقياس الأنسب للتوزيعات غير المتماثلة كتوزيعات الدخل وأسعار العقارات وأوقات الانتظار، إذ قد يعكس الانحراف المعياري فيها تأثير نسبة ضيّقة من القيم المتطرفة بدلاً من التشتت الفعلي للبيانات.

اختلافات الطرق

توثّق لغة R تسع طرق متمايزة لحساب المئينات؛ وتتباين هذه الطرق أساساً في كيفية التعامل مع المواضع الكسرية ومع ترتيب الحد الأدنى في البيانات:

• الطريقة 7 (المستخدمة هنا، والافتراضية في R وExcel وNumPy): position = (n − 1) × p/100. يُعطي p = 0 عند الحد الأدنى وp = 100 عند الحد الأقصى.
• الطريقة 6 (الافتراضية في SPSS، ودالة PERCENTILE.EXC في Excel): position = n × p/100. الحد الأدنى والأقصى ليسا مئينات قابلة للحساب، والنطاق الصالح هو من 1/(n+1) إلى n/(n+1).
• الطرق 1–3 (طرق الرتبة الأقرب): تُعيد قيمة مرصودة فعلياً لا قيمة مستوفاة، وتُستخدم في بعض المناهج الجامعية الأساسية.

في مجموعات البيانات الكبيرة تتقارب جميع الطرق عملياً؛ أما في العيّنات الصغيرة فقد تتباين نتائجها، لذا ينبغي التحقق من الطريقة المعتمدة عند مقارنة مخرجات برامج مختلفة.

العلاقة بالدرجة المعيارية

المئين ترتيب تجريبي بحت: يصف موضع قيمة داخل البيانات المرصودة دون افتراض شكل محدد للتوزيع. المئين 90 يعني ببساطة أن 90٪ من القيم تقع دونه.

الدرجة المعيارية (درجة Z) في المقابل تقيس عدد الانحرافات المعيارية بين قيمة ما والوسط الحسابي، وتفترض ضمنياً أن البيانات تقترب من التوزيع الطبيعي. درجة Z = 1.28 تقابل المئين التسعين في التوزيع الطبيعي المثالي، غير أنها قد تقابل مئيناً مختلفاً كلياً في توزيع متحيّز أو متعدد الأنماط.

يُفضَّل استخدام المئينات حين يكون شكل التوزيع مجهولاً أو غير طبيعي — كدرجات الاختبارات والمعدلات المرجعية في الطب — وتُفضَّل الدرجات المعيارية حين يكون افتراض الطبيعية مقبولاً وتستلزم المقارنة بين مقاييس ذات وحدات مختلفة.

الحد الأدنى من البيانات

تستلزم طريقة الاستيفاء الخطي توفر قيمتين على الأقل. عند توفر قيمتين فقط، تُحسب الربيعيات باستيفاء على الفترة الوحيدة الممتدة بين القيمتين، وتكون جميع المئينات من 0 إلى 100 قابلة للحساب.

لتقديرات دقيقة في التطبيق العملي، تزيد الحاجة إلى بيانات أوفر. يتسع فارق الثقة في تقدير المئينات عند تقليص حجم العيّنة؛ فمتطلبات الدقة في المئين التسعين مثلاً أعلى بكثير في عيّنة مؤلفة من 20 قيمة منها في عيّنة مؤلفة من 200 قيمة.