آخر تحديث: 2026-05-19

كيف تعمل احتمالات سحب الأوراق

التوزيع الهندسي الفائق نموذج احتمالي يصف أخذ عينات دون إعادة من مجتمع محدود مقسوم إلى فئتين. في سحب أوراق اللعب، كل ورقة تُسحب تُغيّر تركيب ما تبقى في المجموعة، فتتغير الاحتمالات مع كل سحبة — وهو ما يميّز هذا التوزيع عن توزيعات الاحتمال ذات الاحتمال الثابت كرمي حجر النرد أو قلب العملة. تطبّق هذه الأداة التوزيع الهندسي الفائق على أي تركيبة من حجم المجموعة وعدد الأوراق المستهدفة وحجم اليد والإصابات المطلوبة.

صيغة التوزيع الهندسي الفائق

لمجموعة من $N$ ورقة تحتوي على $K$ ورقة مستهدفة، وعند سحب $n$ ورقة دون إعادة، يكون احتمال الحصول على $k$ إصابات بالضبط:

لكل حدٍّ في هذه الصيغة معنى توافيقي مباشر:

• $\binom{K}{k}$ — طرق اختيار $k$ ورقة مستهدفة من $K$ متاحة
• $\binom{N-K}{n-k}$ — طرق ملء المواضع المتبقية $n-k$ بأوراق غير مستهدفة
• $\binom{N}{n}$ — إجمالي طرق سحب أي $n$ ورقة من $N$

البسط يعدّ الأيدي المواتية والمقام يعدّ جميع الأيدي الممكنة.

مثال تطبيقي: آصان في يد بوكر من 5 أوراق

توزيع البوكر القياسي: $N = 52$، $K = 4$ (آصات)، $n = 5$، $k = 2$.

نحو 4.0% من أيدي 5 أوراق تحتوي على آصين بالضبط. أما احتمال وجود آصٍ واحد على الأقل فأعلى بكثير، إذ يبلغ نحو 34.1%.

العدد المتوقع من الآصات في كل يد هو:

متوسط الآصات في اليد الواحدة أقل من نصف ورقة، غير أن الناتج الفعلي دائمًا عدد صحيح — فالمتوسط يصف المعدل التراكمي عبر جولات كثيرة.

الفرق بين «بالضبط k» و«k على الأقل»

نتيجة P(k إصابة على الأقل) — أي $P(X \geq k)$ — هي مجموع دالة الكثافة من $k$ حتى $\min(n, K)$:

هذا هو السؤال الذي يعنيه اللاعب في الغالب: «ما احتمال سحب ورقتين من البستوني على الأقل؟» لا «بالضبط ورقتين». يُجسّد مخطط التوزيع الكثافة الاحتمالية على جميع قيم الإصابات الممكنة.

سيناريوهات شائعة لسحب الأوراق

يُظهر صف «الحذاء» السداسي في البلاك جاك أنه حين يظل $K/N$ ثابتًا (24/312 = 4/52) لا يتغير الاحتمال إلا بمقدار يسير — يهيمن المقام الكبير على النتيجة.

التوزيع الهندسي الفائق مقابل التوزيع الثنائي

يُطبَّق التوزيع الثنائي حين تكون كل تجربة مستقلة باحتمال ثابت $p$. سحب الأوراق ليس مستقلًا — إخراج ورقة يُغيّر $p$ للسحبة التالية. الفارق في مجموعة من 52 ورقة صغير لكنه موجود:

• التقريب الثنائي لآصٍ واحد في 5 أوراق: $1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33.0\%$
• الهندسي الفائق الدقيق: $\approx 34.1\%$

يتسع الفارق حين تمثل اليد جزءًا كبيرًا من المجموعة. في يد من 10 أوراق من مجموعة مؤلفة من 20 ورقة ينهار التقريب الثنائي بصورة واضحة، بينما تظل الصيغة الهندسية الفائقة دقيقة.

كيفية استخدام الأداة

1. حجم مجموعة الأوراق — إجمالي الأوراق قبل أي سحب. مجموعة قياسية: 52. حذاء سداسي: 312. احذف الأوراق الموزَّعة مسبقًا لمحاكاة أوضاع اللعب في منتصف الجولة.
2. الأوراق المستهدفة في المجموعة — عدد الأوراق التي تُحسب «إصابات». الآصات: 4. البستوني: 13. الملوك الحمر: 2.
3. حجم اليد — الأوراق المسحوبة في صفقة واحدة.
4. الإصابات المطلوبة — العدد الدقيق المراد حساب احتماله. تُستخدم P(k على الأقل) حين يُستهدف تجاوز حدٍّ أدنى.

يُجسّد مخطط التوزيع دالة الكثافة الاحتمالية كاملةً — كيف تتوزع الكثافة من صفر إصابات حتى الحد الأقصى الممكن. العمود المميز يقابل قيمة الإصابات المطلوبة المُدخلة.