Skip to content
تاريخ الإنشاء: 20 يوليو 2026 في 09:34 م

حاسبة إسقاط المتجهات

المدخلات

a — المركبة x3
a — المركبة y4
a — المركبة z0
b — المركبة x1
b — المركبة y0
b — المركبة z0

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/vector-projection

الرياضيات

حاسبة إسقاط المتجهات

أسقِط المتجه a على المتجه b: الإسقاط القياسي، ومركبات الإسقاط الاتجاهي، والمركبة العمودية (المتبقية). تعمل في بُعدين (اترك z = 0) وثلاثة أبعاد، مع خطوات حل تفصيلية.

المدخلات

المتجه a (المُسقَط)

المتجه b (الاتجاه)

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

تفاصيل

خطوات الحل التفصيلية

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

إسقاط المتجهات

إسقاط متجه a على متجه b يجيب عن سؤال بسيط: ما مقدار a الذي يتجه في اتجاه b؟ تأتي الإجابة في صورتين — عدد واحد (الإسقاط القياسي) ومتجه كامل (الإسقاط الاتجاهي). وإلى جانب المركبة المتبقية، يقسمان a إلى جزء على امتداد b وجزء عمودي عليه.

الإسقاط القياسي

الإسقاط القياسي للمتجه a على b هو الطول ذو الإشارة للمتجه a مقيسًا على امتداد اتجاه b:

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

يكون موجبًا عندما يميل a في الاتجاه نفسه لـ b، وصفرًا عند التعامد، وسالبًا عندما يميل a في الاتجاه المعاكس.

الإسقاط الاتجاهي

الإسقاط الاتجاهي متجه يتجه على امتداد b وطوله يساوي القيمة المطلقة للإسقاط القياسي:

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

المعامل a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} يعيد قياس b بحيث تقع النتيجة تمامًا «أسفل» رأس a.

المركبة المتبقية

المركبة المتبقية هي ما يتبقى من a بعد إزالة الإسقاط:

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

وهي عمودية على b، لذا يكون الإسقاط والمركبة المتبقية متعامدين، ويعودان عند جمعهما إلى المتجه الأصلي: a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}.

مثال محلول

ليكن a = (3, 4, 0) و b = (1, 0, 0).

أولًا الضرب القياسي:

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

مقدار b هو ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1، فيكون الإسقاط القياسي:

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

يستخدم الإسقاط الاتجاهي المعامل 31=3\frac{3}{1} = 3:

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

والمركبة المتبقية هي الباقي العمودي:

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

وكما هو متوقع، فإن (3, 0, 0) و (0, 4, 0) متعامدان، ويعودان عند جمعهما إلى (3, 4, 0).

بُعدان وثلاثة أبعاد

تصلح المعادلات نفسها في أي عدد من الأبعاد. في مسألة مستوية ثنائية البُعد، اترك المركبات z عند 0 واقرأ نتائج x و y؛ ويبقى ناتج z مساويًا للصفر.

القياس على الشغل

في الفيزياء، الشغل الذي تبذله قوة ثابتة هو الضرب القياسي للقوة والإزاحة:

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

أي مقدار القوة مضروبًا في الإسقاط القياسي للإزاحة على امتداد القوة. مركبة القوة في اتجاه الحركة وحدها هي التي تبذل شغلًا؛ أما المركبة العمودية (المتبقية) فلا تسهم بشيء. والفكرة نفسها تحلِّل وزن جسم على مستوى مائل إلى مركبة تجعله ينزلق على المنحدر وأخرى تضغطه على السطح.

التطبيقات

  • التعامد بطريقة غرام-شميت: طرح إسقاط كل متجه على المتجهات السابقة لبناء أساس متعامد.
  • التقريب بالمربعات الصغرى: أفضل تقريب لنقطة داخل فضاء جزئي هو إسقاطها على ذلك الفضاء الجزئي.
  • الرسوميات الحاسوبية: إسقاط اتجاه الضوء أو النظر على سطح يحدد التظليل وطول الظلال.
  • تحليل القوى: فصل قوة إلى مركبتين على امتداد اتجاه وعموديًا عليه، كما في المستوى المائل.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين الإسقاط القياسي والإسقاط الاتجاهي؟

الإسقاط القياسي comp_b(a) = (a · b) / |b| هو عدد واحد ذو إشارة: مقدار امتداد a في اتجاه b. أما الإسقاط الاتجاهي proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b فهو متجه كامل — يتجه على امتداد b وطوله يساوي القيمة المطلقة للإسقاط القياسي. باختصار، يجيب الإسقاط القياسي عن «كم»، ويجيب الإسقاط الاتجاهي عن «كم، وفي أي اتجاه».

كيف تُسقِط متجهًا على آخر؟

احسب الضرب القياسي a · b ومربع المقدار b · b = |b|². الإسقاط القياسي هو (a · b) / |b|. والإسقاط الاتجاهي هو المعامل (a · b) / (b · b) مضروبًا في b. مثلًا لـ a = (3, 4) و b = (1, 0): a · b = 3 و |b| = 1، فيكون الإسقاط القياسي 3 والإسقاط الاتجاهي (3, 0).

ما هي المركبة المتبقية (العمودية)؟

المركبة المتبقية هي ما يتبقى من a بعد إزالة إسقاطه على b: a − proj_b(a). وهي عمودية على b، لذا يقسم الإسقاط والمركبة المتبقية المتجه a إلى جزأين متعامدين يعودان عند جمعهما إلى a. هذا التحليل هو أساس طريقة غرام-شميت، وتحليل القوة إلى مركبتين على امتداد سطح وعموديًا عليه.

أين تُستخدم الإسقاطات في الفيزياء؟

الشغل الذي تبذله قوة ثابتة هو W = F · d = |F| |d| cos θ، أي مقدار القوة مضروبًا في الإسقاط القياسي للإزاحة على امتداد القوة. مركبة القوة في اتجاه الحركة وحدها هي التي تبذل شغلًا؛ أما المركبة العمودية (المتبقية) فلا تسهم بشيء. كما تُحلِّل الإسقاطات وزن جسم على مستوى مائل إلى مركبتين على امتداد السطح وعموديًا عليه.

التالي الموصى به

حاسبة الضرب النقطي للمتجهات

احسب الضرب النقطي لمتجهين n-بعديين، والزاوية بينهما، وجيب تمام الزاوية، ومقداريهما — مع خطوات اشتقاق تفصيلية. أدخل المركبات مفصولة بفواصل.

 اعرف المزيد
حاسبة مقدار المتجه

احسب مقدار (طول) المتجه والمتجه الوحدوي لأي متجه n-بعدي من مركباته المفصولة بفواصل. يدعم المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد وما هو أعلى.

 اعرف المزيد
حاسبة الضرب الاتجاهي (متجهات ثلاثية الأبعاد)

احسب ضرب المتجهات (الضرب الاتجاهي) لمتجهين ثلاثيين — المركبات، المقدار، ومساحة متوازي الأضلاع — باستخدام طريقة المحدد مع خطوات حل تفصيلية.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗