آخر تحديث: 2026-07-02

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تُجري هذه الحاسبة تحليل تباين (ANOVA) أحادي الاتجاه عبر ثلاث مجموعات. الصق القيم الخام لكل مجموعة، فتعطيك جدول تحليل التباين الكامل — مجاميع المربعات بين المجموعات وداخلها، ودرجات حريتها، ومتوسطات المربعات — إضافةً إلى إحصائية F، وقيمتها p، وقرار دلالة بلغة واضحة.

ما الذي يجيب عنه تحليل التباين الأحادي

تُنتج ثلاث مجموعات ثلاثة متوسطات، وهذه المتوسطات لا تتطابق تقريبًا أبدًا حتى لو أتت المجموعات من العملية نفسها؛ فمجرد المعاينة العشوائية يُحدث بعض التشتّت. ويطرح تحليل التباين الأحادي سؤالًا دقيقًا: لو كانت متوسطات المجتمعات الثلاثة متساوية حقًّا، فما مدى غرابة ظهور فروق بين متوسطات العينات بهذا الحجم؟ والجواب هو قيمة p.

الفكرة هي مقارنة مصدرين للتباين. جزء من تشتّت البيانات المجمَّعة ينشأ لأن المجموعات تقع عند مستويات مختلفة؛ والباقي ينشأ من التشتّت الطبيعي للمشاهدات حول متوسط مجموعتها. فإذا كان المصدر الأول كبيرًا مقارنةً بالثاني، فالأرجح أن متوسطات المجموعات ليست متساوية.

مجاميع المربعات

يقسم تحليل التباين التباين الكلي إلى جزء بين المجموعات وجزء داخل المجموعات.

يقيس مجموع المربعات بين المجموعات مدى بُعد كل متوسط مجموعة عن المتوسط العام $\bar{x}$ (متوسط جميع المشاهدات مجمَّعة)، مُرجَّحًا بحجم المجموعة $n_j$:

ويقيس مجموع المربعات داخل المجموعات مدى بُعد كل مشاهدة $x_{ij}$ عن متوسط مجموعتها $\bar{x}_j$:

درجات الحرية ومتوسطات المربعات

يتحول كل مجموع مربعات إلى متوسط مربعات بقسمته على درجات حريته. فمع $k$ مجموعات و$N$ مشاهدة إجمالًا:

متوسط المربعات داخل المجموعات $MS_W$ تقدير مجمَّع لتباين الخطأ المشترك. أما متوسط المربعات بين المجموعات $MS_B$ فيقدّر التباين نفسه فقط حين تتساوى متوسطات المجموعات؛ وحين تختلف، يكون منتفخًا.

إحصائية F

إحصائية الاختبار هي نسبة متوسطَي المربعات:

حين تتساوى جميع متوسطات المجتمعات، يقدّر متوسطا المربعات التباين نفسه، وتقترب $F$ من 1. وحين تختلف متوسطات المجموعات فعلًا، ينمو البسط وترتفع $F$ فوق 1. وقيمة p هي مساحة الذيل العلوي لتوزيع F بدرجتَي حرية $(df_B, df_W)$ بعد قيمة $F$ المرصودة:

مثال محلول

لنفترض اختبار ثلاث طرائق تدريس مع خمسة طلاب لكلٍّ منها:

• المجموعة 1: 85، 90، 88، 92، 87 (المتوسط 88.4)
• المجموعة 2: 78، 82، 80، 85، 79 (المتوسط 80.8)
• المجموعة 3: 91، 95، 93، 96، 94 (المتوسط 93.8)

المتوسط العام هو $\bar{x} \approx 87.67$، مع $N = 15$ و$k = 3$.

مع $p \approx 0.00001$، وهي أدنى بكثير من 0.05، يوجد دليل قوي على أن إحدى طرائق التدريس على الأقل تُنتج متوسطًا مختلفًا.

بعد نتيجة دالة

يخبرك تحليل التباين الدال بأن أحد متوسطات المجموعات على الأقل يختلف، لا أيُّها. ولتحديد مواضع الفروق، تابِع بإجراء بعدي مثل اختبار HSD لـ Tukey أو مقارنات زوجية عبر حاسبة اختبار t لعينتين (ويلش) مع تصحيح لتعدد الاختبارات. وارفق القرار بمقياس لحجم الأثر، مثل مربع إيتا، يصف مقدار التباين الكلي الذي تفسّره الفروق بين المجموعات.

الافتراضات

يستند تحليل التباين الأحادي إلى بضعة شروط:

• الاستقلال — المجموعات الثلاث مستقلة، والمشاهدات داخل كل مجموعة مستقلة.
• الاعتدال التقريبي — قيم كل مجموعة موزّعة توزيعًا اعتداليًا تقريبًا، أو أن العينات كبيرة بما يكفي ليعمل مبرهنة النهاية المركزية.
• تجانس التباين — للمجموعات تشتّت متقارب. وحين تتباين التباينات بشكل ملحوظ، يكون تحليل التباين المصحَّح بطريقة ولش أكثر موثوقية من الصورة الكلاسيكية المستخدمة هنا.

حين تكون هناك مجموعتان فقط، يختزل تحليل التباين الكلاسيكي تمامًا إلى مقارنة متوسطات؛ والنظير المباشر لحالة المجموعتين هو حاسبة اختبار t لعينتين (ويلش). ولفحص التشتّت داخل مجموعة واحدة أولًا، تلخّص حاسبة التباين والانحراف المعياري وحاسبة الإحصاء الوصفي مركزها وتشتّتها.