آخر تحديث: 2026-05-19

معادلة الخط المستقيم

يتحدد الخط المستقيم في المستوى الإحداثي تمامًا بمعرفة أيّ نقطتين منه. إذا أُعطيت النقطتان P₁ = (x₁, y₁) و P₂ = (x₂, y₂)، يمكن اشتقاق ميل وحيد وكتابة معادلة الخط بثلاث صيغ معيارية — لكلٍّ منها استخداماته المناسبة.

الصيغ المعيارية الثلاث

صيغة الميل-التقاطع: y = mx + b

الصيغة الأكثر استخدامًا. m هو الميل (التغير في y مقسومًا على التغير في x)، و b هو التقاطع مع محور y.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

متى تُستخدم؟ لرسم الخط بسرعة بدءًا من (0, b) والتقدم بمقدار m لكل وحدة نحو اليمين، ولقراءة الميل ونقطة التقاطع دفعةً واحدة.

صيغة النقطة-الميل: y − y₁ = m(x − x₁)

تستخدم إحدى النقطتين المعطاتين والميل مباشرةً دون الحاجة لحساب b مسبقًا.

متى تُستخدم؟ عند معرفة نقطة والميل، أو كخطوة وسيطة في الاشتقاق.

الصيغة العامة: Ax + By = C

جميع الحدود في جانب واحد، بمعاملات صحيحة إذا كانت الإحداثيات المدخلة أعدادًا صحيحة. التقليد: A ≥ 0.

متى تُستخدم؟ لحل منظومات المعادلات الخطية (بالجمع أو الطرح المباشر)، ولإيجاد نقطتَي تقاطع الخط مع المحورين معًا.

الحالات الخاصة

الخط الرأسي

إذا كان x₁ = x₂، فإن النقطتين على خط رأسي. الميل غير معرَّف لأن المقام x₂ − x₁ = 0 يعني قسمةً على صفر. المعادلة هي ببساطة x = x₁.

الخط الأفقي

إذا كان y₁ = y₂، فالخط أفقي. الميل يساوي صفرًا والتقاطع مع محور y يساوي y₁، وتتحول الصيغ الثلاث إلى y = y₁.

مثال محسوب

لتكن النقطتان P₁ = (1, 2) و P₂ = (4, 11). يُحسب الميل أولاً:

$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

ثم التقاطع مع محور y:

$b = 2 - 3 \times 1 = -1$

وتكون الصيغ الثلاث:

• الميل-التقاطع: y = 3x − 1
• النقطة-الميل: y − 2 = 3(x − 1)
• الصيغة العامة: 3x − y = 1

التحويل بين الصيغ

المعاملات الصحيحة في الصيغة العامة

إذا كان الميل m = p/q (كسر مختزل)، اضرب جميع حدود y = mx + b في q:

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

يكون A = p و B = −q و C = −qb أعدادًا صحيحةً. تطبّق هذه الآلة الحاسبة هذه الخطوة تلقائيًا حين تكون الإحداثيات المدخلة أعدادًا صحيحة.