معادلة الخط من نقطتين

آخر تحديث: 2026-05-19

معادلة الخط المستقيم

يتحدد الخط المستقيم في المستوى الإحداثي تمامًا بمعرفة أيّ نقطتين منه. إذا أُعطيت النقطتان P₁ = (x₁, y₁) و P₂ = (x₂, y₂)، يمكن اشتقاق ميل وحيد وكتابة معادلة الخط بثلاث صيغ معيارية — لكلٍّ منها استخداماته المناسبة.

الصيغ المعيارية الثلاث

صيغة الميل-التقاطع: y = mx + b

الصيغة الأكثر استخدامًا. m هو الميل (التغير في y مقسومًا على التغير في x)، و b هو التقاطع مع محور y.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

متى تُستخدم؟ لرسم الخط بسرعة بدءًا من (0, b) والتقدم بمقدار m لكل وحدة نحو اليمين، ولقراءة الميل ونقطة التقاطع دفعةً واحدة.

صيغة النقطة-الميل: y − y₁ = m(x − x₁)

تستخدم إحدى النقطتين المعطاتين والميل مباشرةً دون الحاجة لحساب b مسبقًا.

متى تُستخدم؟ عند معرفة نقطة والميل، أو كخطوة وسيطة في الاشتقاق.

الصيغة العامة: Ax + By = C

جميع الحدود في جانب واحد، بمعاملات صحيحة إذا كانت الإحداثيات المدخلة أعدادًا صحيحة. التقليد: A ≥ 0.

متى تُستخدم؟ لحل منظومات المعادلات الخطية (بالجمع أو الطرح المباشر)، ولإيجاد نقطتَي تقاطع الخط مع المحورين معًا.

الحالات الخاصة

الخط الرأسي

إذا كان x₁ = x₂، فإن النقطتين على خط رأسي. الميل غير معرَّف لأن المقام x₂ − x₁ = 0 يعني قسمةً على صفر. المعادلة هي ببساطة x = x₁.

الخط الأفقي

إذا كان y₁ = y₂، فالخط أفقي. الميل يساوي صفرًا والتقاطع مع محور y يساوي y₁، وتتحول الصيغ الثلاث إلى y = y₁.

مثال محسوب

لتكن النقطتان P₁ = (1, 2) و P₂ = (4, 11). يُحسب الميل أولاً:

$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

ثم التقاطع مع محور y:

$b = 2 - 3 \times 1 = -1$

وتكون الصيغ الثلاث:

الميل-التقاطع: y = 3x − 1
النقطة-الميل: y − 2 = 3(x − 1)
الصيغة العامة: 3x − y = 1

التحويل بين الصيغ

من	إلى	الطريقة
النقطة-الميل	الميل-التقاطع	توزيع الضرب ثم عزل y
الميل-التقاطع	الصيغة العامة	نقل mx إلى اليسار؛ الضرب في −1 إذا كان A < 0
الصيغة العامة	الميل-التقاطع	عزل y: y = (C − Ax) / B

المعاملات الصحيحة في الصيغة العامة

إذا كان الميل m = p/q (كسر مختزل)، اضرب جميع حدود y = mx + b في q:

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

يكون A = p و B = −q و C = −qb أعدادًا صحيحةً. تطبّق هذه الآلة الحاسبة هذه الخطوة تلقائيًا حين تكون الإحداثيات المدخلة أعدادًا صحيحة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

أيّ صيغة لمعادلة الخط المستقيم يجب استخدامها؟

تُعدّ صيغة الميل-التقاطع (y = mx + b) الأنسب لقراءة الميل والتقاطع مع محور y مباشرةً، وللرسم البياني انطلاقاً من النقطة (0, b).

أما صيغة النقطة-الميل (y − y₁ = m(x − x₁)) فتُستخدم حين تكون نقطة وميل معلومَين دون الحاجة لحساب b مسبقاً.

وتُفضَّل الصيغة العامة (Ax + By = C) عند حل منظومات المعادلات الخطية وعند إيجاد نقاط التقاطع مع المحورين في آنٍ واحد.

كيف أحوّل بين الصيغ الثلاث؟

صيغة النقطة-الميل إلى الميل-التقاطع: وسّع القوس وأوجد y بمفرده: y − y₁ = m(x − x₁) → y = mx + b حيث b = y₁ − mx₁. الميل-التقاطع إلى الصيغة العامة: انقل mx إلى الجانب الأيسر، وإذا كان A سالباً اضرب المعادلة في −1: y = mx + b → mx − y = −b. الصيغة العامة إلى الميل-التقاطع: أوجد y: y = (C − Ax) / B.

ماذا يحدث إذا تساوت إحداثيات x للنقطتين؟

إذا كان x₁ = x₂ فإن النقطتين تقعان على خط عمودي. يكون الميل غير معرَّف لأن المقام x₂ − x₁ = 0 يعني قسمةً على صفر. تصبح معادلة الخط ببساطة x = x₁. وإذا كان x₁ = 0 فإن الخط يتطابق مع محور y.

كيف أحصل على معاملات صحيحة في الصيغة العامة؟

إذا كان الميل m = p/q (كسر مختزل)، اضرب جميع حدود y = mx + b في q: qy = px + qb، فيصبح بعد إعادة الترتيب: px − qy = −qb. المعاملات A = p و B = −q و C = −qb كلها أعداد صحيحة. تطبّق هذه الحاسبة هذه الخطوة تلقائياً حين تكون إحداثيات الإدخال أعداداً صحيحة.

معادلة الخط من نقطتين

معادلات الخط المستقيم

الميل والتقاطع

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حل المعادلة التربيعية

حاسبة مبرهنة فيثاغورس

حاسبة مساحة المثلث

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

المدخلات

النتائج