آخر تحديث: 2026-05-20

ما هو إتمام المربع؟

إتمام المربع هو أسلوب جبري يُحوِّل التعبير التربيعي $ax^2 + bx + c$ إلى الصورة الرأسية $a(x - h)^2 + k$، حيث $(h, k)$ هو رأس القطع المكافئ. تُنجز هذه الحاسبة التحويل في خطوة واحدة وتعرض الاشتقاق كاملاً لتتابع الخطوات بنفسك.

طريقة إتمام المربع

انطلاقاً من $ax^2 + bx + c$:

الخطوة 1 — إيجاد h (إحداثي $x$ للرأس):

$$h = -\frac{b}{2a}$$

الخطوة 2 — إيجاد k (إحداثي $y$ للرأس):

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

الخطوة 3 — الكتابة في الصورة الرأسية:

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

لماذا تصح هذه الطريقة؟

نستخرج $a$ عاملاً مشتركاً من الحدّين الأولين ونُضيف حدّ إتمام المربع داخل القوسين:

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

الحدّ $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ يُضاف داخل القوس (مما يزيد $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$) ويُطرح خارجه فوراً، فيبقى التعبير مكافئاً للأصل. بتعويض $h = -\frac{b}{2a}$ و$k = c - \frac{b^2}{4a}$ نحصل على $a(x - h)^2 + k$.

مثال تطبيقي

حوِّل $x^2 - 6x + 11$ إلى الصورة الرأسية.

هنا $a = 1$ و$b = -6$ و$c = 11$.

$$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

التحقق: بسِّط $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

الرأس هو $(3,, 2)$، ومحور التماثل $x = 3$، والحد الأدنى لقيم الدالة هو $2$.

ما الذي يخبرنا به الرأس؟

الخاصية	القيمة
الرأس	$(h,\, k)$
محور التماثل	$x = h$
الحد الأدنى (إذا كان $a > 0$)	$y = k$ عند $x = h$
الحد الأقصى (إذا كان $a < 0$)	$y = k$ عند $x = h$

حين يكون $a > 0$، تفتح الفتحة للأعلى (شكل ∪) ويكون الرأس أدنى نقطة على القطع المكافئ. حين يكون $a < 0$، تفتح للأسفل (شكل ∩) ويكون الرأس أعلى نقطة. تتحكم القيمة المطلقة $|a|$ في عرض القطع المكافئ: كبر $|a|$ يجعله أضيق وأكثر انحداراً، وصِغَره يجعله أعرض وأكثر انبساطاً.

اشتقاق صيغة حلّ المعادلة التربيعية

إتمام المربع هو الطريق إلى صيغة حلّ المعادلة التربيعية. نضع $ax^2 + bx + c = 0$، نحوّلها إلى الصورة الرأسية ثم نُوحِد $x$:

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

بتعويض $h = -\frac{b}{2a}$ و$k = c - \frac{b^2}{4a}$ والتبسيط:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

هذه هي صيغة حلّ المعادلة التربيعية المعروفة — وإتمام المربع هو البرهان الذي يُثبت صحّتها لكل معادلة تربيعية.

متى يُفيد إتمام المربع؟

• إيجاد رأس القطع المكافئ مباشرةً دون الحاجة إلى رسم بياني.
• حلّ المعادلات التربيعية حين يصعب التحليل إلى عوامل.
• اشتقاق صيغة الحلّ من مبادئ أولى.
• تحليل القطوع المكافئة في الفيزياء والهندسة (حركة القذائف، البصريات، الهوائيات).
• التفاضل والتكامل — الصورة الرأسية تُيسّر تكامل بعض الدوال النسبية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما فائدة إتمام المربع في الجبر؟

إتمام المربع يُعيد كتابة ax² + bx + c في الصورة a(x − h)² + k، فيُظهر رأس القطع المكافئ (h, k) مباشرةً دون الحاجة إلى الاشتقاق. تكشف هذه الصورة عن القيمة الصغرى أو الكبرى للدالة، وتُوضح محور التماثل (x = h).

كما أن إتمام المربع هو الاشتقاق الأساسي لصيغة حلّ المعادلة التربيعية، ويُيسّر رسم القطع المكافئ إذ تظهر قمته وفتحته من الصورة الرأسية مباشرةً.

كيف تُستنتج صيغة حلّ المعادلة التربيعية من إتمام المربع؟

صيغة حلّ المعادلة التربيعية مشتقّة مباشرةً من إتمام المربع. نقسم المعادلة ax² + bx + c = 0 على a فنحصل على x² + (b/a)x + c/a = 0. نُضيف ونطرح (b/(2a))² لنُنشئ ثلاثيةً مربّعة تامة، فيصبح (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين ونُوحِد x فنحصل على x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a).

ماذا يعني رأس القطع المكافئ (h, k)؟

الرأس هو نقطة الانعطاف في القطع المكافئ. حين يكون a > 0، تفتح الفتحة للأعلى ويُمثّل الرأس الحدَّ الأدنى للدالة: أصغر قيمة لـ ax² + bx + c هي k، وتُبلَغ عند x = h. حين يكون a < 0، تفتح الفتحة للأسفل ويكون الرأس نقطة الحد الأقصى. محور التماثل هو الخط الرأسي x = h، والقطع المكافئ صورة مرآتية متناظرة حوله.

كيف تؤثر إشارة المعامل a في شكل القطع المكافئ؟

حين يكون a > 0، تفتح الفتحة للأعلى (شكل ∪) ويكون الرأس أدنى نقطة. حين يكون a < 0، تفتح الفتحة للأسفل (شكل ∩) ويكون الرأس أعلى نقطة.

تتحكم القيمة المطلقة |a| في عرض القطع المكافئ: كلما كبرت |a| كان القطع أضيق وأكثر انحداراً، وكلما صغرت كان أعرض وأكثر انبساطاً. إذا كان a = 0 تحوّل التعبير إلى معادلة خطية وانتفت إمكانية إتمام المربع.