آخر تحديث: 2026-07-01

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة الخطأ المعياري للمتوسط (SEM) انطلاقًا من الانحراف المعياري وحجم العينة، وتبني فترة الثقة المحيطة بمتوسط العينة. أدخل الانحراف المعياري وحجم العينة ومستوى الثقة ومتوسط العينة المرصود.

ما هو الخطأ المعياري للمتوسط

عند تقدير متوسط انطلاقًا من عينة، لا يكون التقدير دقيقًا أبدًا؛ إذ إن عينة عشوائية أخرى ستعطي متوسطًا مختلفًا قليلًا. يقيس الخطأ المعياري للمتوسط هذا القدر من عدم اليقين: فهو الانحراف المعياري لتوزيع المعاينة الخاص بالمتوسط، أي مقدار التغير المتوقع في متوسط العينة من عينة إلى أخرى.

الخطأ المعياري الصغير يعني أن متوسط عينتك يحدّد متوسط المجتمع بإحكام، والكبير يعني أن التقدير مفكك. وهو المكوّن الأساسي لفترات الثقة واختبارات الفرضيات حول متوسط ما.

الصيغة

• SEM — الخطأ المعياري للمتوسط
• s — الانحراف المعياري للعينة
• n — حجم العينة

يقيس الانحراف المعياري تشتت البيانات الخام، والقسمة على $\sqrt{n}$ تحوّله إلى تشتت المتوسط. فحساب متوسط عدد كبير من المشاهدات يلغي الضوضاء الفردية، ما يجعل المتوسط أكثر استقرارًا من أي نقطة بيانات مفردة، وكلما زاد عدد ما تحسب متوسطه ازداد استقرارًا.

فترة الثقة

بمجرد حصولك على الخطأ المعياري، تكون فترة الثقة لمتوسط المجتمع هي متوسط العينة مضافًا إليه ومطروحًا منه قيمة حرجة مضروبة في الخطأ المعياري:

تأتي القيمة الحرجة $z$ من التوزيع الطبيعي المعياري ويحدّدها مستوى الثقة (1.645 لمستوى 90%، و1.96 لمستوى 95%، و2.576 لمستوى 99%). عند ثقة 95% يعني ذلك أنه لو تكررت الدراسة مرات عديدة لاحتوى نحو 95% من الفترات المبنية بهذه الطريقة متوسط المجتمع الحقيقي.

الخطأ المعياري مقابل الانحراف المعياري

يقيس كلاهما «التشتت»، لذا يسهل الخلط بينهما، لكنهما يصفان أمرين مختلفين:

جمع مزيد من البيانات لا يجعل القيم الفردية أقل تباينًا، لذا يظل الانحراف المعياري مستقرًا. لكنه يجعل المتوسط أكثر موثوقية، فيستمر الخطأ المعياري في الانخفاض.

لماذا يتقلص الخطأ المعياري بمقدار √n

لأن حجم العينة يدخل تحت جذر تربيعي، ينخفض الخطأ المعياري بنسبة $1/\sqrt{n}$ لا عكسيًا مع $n$. وهذا يعطي عوائد متناقصة:

لتقليل الخطأ المعياري إلى النصف يجب مضاعفة العينة أربع مرات. وتصبح كل وحدة إضافية من الدقة أكثر كلفة تدريجيًا.

مثال محلول

لنفترض أن عينة حجمها 36 لها انحراف معياري قدره 12 ومتوسط 100، والمطلوب فترة ثقة عند 95%. القيمة الحرجة هي 1.96:

الخطأ المعياري للمتوسط هو 2، وتمتد فترة الثقة عند 95% من 96.08 إلى 103.92. واستنادًا إلى هذه العينة، يقع متوسط المجتمع على الأرجح في مكان ما داخل هذا المدى.

عندما يُقدَّر الانحراف المعياري من عينة صغيرة

تستخدم الفترة أعلاه القيمة الطبيعية $z$، وهي مناسبة عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معلومًا أو تكون العينة كبيرة بما يكفي ليصبح $s$ بديلًا موثوقًا. وقاعدة شائعة هي $n \geq 30$.

وعندما يُقدَّر $s$ من عينة صغيرة، استبدل $z$ بقيمة من توزيع t الذي له أطراف أثقل لمراعاة عدم اليقين الإضافي:

تعتمد قيمة t على درجات الحرية، أي أقل من حجم العينة بواحد، وهي دائمًا أكبر قليلًا من قيمة z المقابلة، فتوسّع الفترة. ومع كبر n تقترب قيمة t من قيمة z من جديد.

حاسبات ذات صلة

تبني حاسبة فترة الثقة الفترة الكاملة حول تقديرك للمتوسطات والنسب، وتعطي حاسبة هامش الخطأ نصف العرض $z \cdot \text{SEM}$ مباشرةً. ولإيجاد الانحراف المعياري أولًا من البيانات الخام، استخدم حاسبة التباين والانحراف المعياري.