حاسبة فترة الثقة

آخر تحديث: 2026-05-18

ما هي فترة الثقة؟

تُعطي فترة الثقة نطاقاً من القيم المحتملة لمعامل مجهول في المجتمع الإحصائي — وعادةً ما يكون المتوسط — استناداً إلى بيانات عينة. أدخل إحصاءات العينة واختر مستوى الثقة لمعرفة الفترة وهامش الخطأ وقيمة Z.

الصيغ الرياضية

باستخدام متوسط العينة $\bar{x}$، والانحراف المعياري $\sigma$، وحجم العينة $n$، والقيمة الحرجة $z^*$:

الخطأ المعياري:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

هامش الخطأ:

$$ME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

فترة الثقة:

$$CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$

القيم الحرجة لـ Z (التوزيع الطبيعي المعياري):

مستوى الثقة	$z^*$
90%	1.6449
95%	1.9600
99%	2.5758

المعنى الحقيقي لفترة الثقة

أكثر المفاهيم الخاطئة شيوعاً هو القول: «هناك احتمال 95% بأن المتوسط الحقيقي يقع داخل هذه الفترة.» هذا التفسير غير صحيح. متوسط المجتمع $\mu$ ثابت (مجهول) وليس متغيراً عشوائياً؛ الفترة نفسها هي ما يتغير من عينة إلى أخرى.

التفسير الصحيح: لو كررت عملية أخذ العينات مرات عديدة وبنيت فترة ثقة 95% في كل مرة، فإن نحو 95% من تلك الفترات ستحتوي على المتوسط الحقيقي. أما فترتك المحددة فإما تحتوي على $\mu$ أو لا تحتوي عليه — لا تعلم أيهما.

من الناحية العملية: فترة الثقة 95% تعني أن فترة واحدة من كل عشرين (في المتوسط) لن تغطي القيمة الحقيقية.

اختيار التوزيع: Z أم t

تستخدم هذه الحاسبة توزيع Z (التوزيع الطبيعي المعياري)، وهو مناسب في الحالتين التاليتين:

• الانحراف المعياري للمجتمع $\sigma$ معلوم، أو
• حجم العينة كبير ($n \geq 30$)، إذ يكفل مبرهنة النهاية المركزية أن توزيع العينة يقترب من التوزيع الطبيعي

عندما يكون $\sigma$ مجهولاً و$n < 30$، استخدم توزيع t بدرجات حرية $n - 1$. يمتلك توزيع t أذناباً أثقل، مما ينتج فترات أوسع (أكثر تحفظاً). عند $n \geq 30$، يكون الفرق بين Z وt ضئيلاً.

تأثير حجم العينة على الفترة

يتناقص هامش الخطأ مع نمو $\sqrt{n}$. لتخفيض هامش الخطأ إلى النصف، تحتاج إلى أربعة أضعاف حجم العينة — وهذا قيد جوهري في تصميم الاستبيانات.

حجم العينة	ME (95%، σ = 10)
n = 25	±3.92
n = 100	±1.96
n = 400	±0.98
n = 1600	±0.49

مثال تطبيقي: تحليل درجات الاختبار

اختار مدرس 35 ورقة إجابة بشكل عشوائي من فصله الدراسي. بلغ متوسط الدرجات 47.3 نقطة بانحراف معياري 11.8.

الخطأ المعياري: $SE = 11.8 / \sqrt{35} \approx 1.994$

فترة الثقة 95%: $ME = 1.96 \times 1.994 \approx 3.91$

$$CI = [47.3 - 3.91,\ 47.3 + 3.91] = [43.4,\ 51.2]$$

التفسير: «استناداً إلى هذه العينة المؤلفة من 35 ورقة، نقدر أن متوسط درجات الفصل يتراوح بين 43.4 و51.2 نقطة بمستوى ثقة 95%.»

ماذا يتغير عند مستوى ثقة 99%؟ تتسع الفترة: $ME = 2.576 \times 1.994 \approx 5.14$، لتصبح $[42.2,\ 52.4]$. ارتفاع مستوى الثقة يعني دائماً فترة أوسع.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ماذا تعني فترة الثقة 95%؟

لا تعني فترة الثقة 95% أن احتمال وقوع المتوسط الحقيقي للمجتمع داخلها هو 95%؛ فالمتوسط الحقيقي قيمة ثابتة إما تقع في الفترة أو لا تقع. التفسير الصحيح هو أنه لو كررت إجراء أخذ العينات مرات عديدة وبنيت فترة ثقة في كل مرة، فإن 95% من تلك الفترات ستحتوي على متوسط المجتمع الحقيقي.

كيف يُحسب هامش الخطأ؟

هامش الخطأ = z* × (σ ÷ √n)، حيث z* هي قيمة Z الحرجة لمستوى الثقة المختار (1.645 لـ 90%، و1.960 لـ 95%، و2.576 لـ 99%)، وσ الانحراف المعياري، وn حجم العينة. مثال: عند σ = 11.8 وn = 35 بمستوى ثقة 95%: الخطأ المعياري SE = 11.8 ÷ √35 ≈ 1.994، وهامش الخطأ = 1.960 × 1.994 ≈ 3.91.

ما الفرق بين فترة الثقة وفترة التنبؤ؟

تُقدِّر فترة الثقة المدى الذي يقع فيه متوسط المجتمع، في حين تُقدِّر فترة التنبؤ المدى الذي ستقع فيه قيمة فردية جديدة. فترات التنبؤ دائمًا أوسع لأنها تأخذ في الاعتبار عدم اليقين في المتوسط وتباين القيم الفردية معًا. وفي حالة التوزيع الطبيعي، تبلغ فترة التنبؤ 95% تقريبًا x̄ ± 2σ.

متى يُستخدم توزيع t بدلًا من Z؟

يُستخدم توزيع t (قيمة t بدلًا من قيمة Z) في حالتين: (1) عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع σ مجهولًا ويُقدَّر من العينة، أو (2) عندما يكون حجم العينة صغيرًا (n < 30) ولا يُعرف على وجه اليقين أن المجتمع يتبع التوزيع الطبيعي.

في العينات الكبيرة (n ≥ 30) يقترب توزيع t من التوزيع الطبيعي وتكون قيمة Z تقريبًا جيدًا. تستخدم هذه الحاسبة توزيع Z، المناسب عندما يكون σ معروفًا أو n ≥ 30.