آخر تحديث: 2026-05-13

علاقتان أساسيتان بين الأعداد الصحيحة

لكل زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة عددان مميّزان: أكبر عدد صحيح يقسم كليهما دون باقٍ (القاسم المشترك الأكبر، GCD)، وأصغر عدد صحيح يُعدّ مضاعفاً لكليهما (المضاعف المشترك الأصغر، LCM).

يصف هذان العددان معاً العلاقة الحسابية بين عددين صحيحين.

مثال: العددان 12 و8:

• القواسم المشتركة بين 12 و8 هي: 1 و2 و4. وأكبرها هو 4.
• المضاعفات المشتركة بين 12 و8 هي: 24 و48 و72 وما بعدها. وأصغرها هو 24.

حساب القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس

أقدم طريقة — ولا تزال الأسرع عملياً — لإيجاد القاسم المشترك الأكبر هي خوارزمية إقليدس، التي وصفها في كتابه الأصول نحو عام 300 ق.م. تقوم الخوارزمية على الخاصية الآتية:

$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)$

حيث $a \bmod b$ هو باقي قسمة $a$ على $b$. تُكرَّر العملية حتى يُصبح الباقي صفراً، وآخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.

مثال: GCD(48, 18)

الخطوة	$a$	$b$	$a \bmod b$
1	48	18	12
2	18	12	6
3	12	6	0

آخر باقٍ غير صفري هو 6، إذن GCD(48, 18) = 6.

تتميّز هذه الخوارزمية بكفاءة بالغة؛ إذ لا يتجاوز عدد خطواتها خمسة أضعاف عدد أرقام العدد الأصغر.

هوية القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

بمجرد معرفة القاسم المشترك الأكبر، يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بصيغة واحدة:

$\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

هذه ليست مصادفة، بل نظرية تنبثق من تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية. إذا نظرنا إلى كل عدد باعتباره حاصل ضرب قوى من الأعداد الأولية، أخذ القاسم المشترك الأكبر أدنى أس لكل عامل أولي، وأخذ المضاعف المشترك الأصغر أعلى أس.

وحاصل ضربهما يُعيد دائماً القيمة $a \times b$.

مثال: LCM(12, 8)

$\text{GCD}(12, 8) = 4, \quad \text{LCM}(12, 8) = \frac{12 \times 8}{4} = 24$

تحقق: $4 \times 24 = 96 = 12 \times 8$. ✓

حالات خاصة

• GCD(a, 0) = a لأي عدد صحيح موجب $a$: وهو الحالة الأساسية لخوارزمية إقليدس وتنبثق مباشرة من التعريف.
• الأعداد الأولية فيما بينها: القاسم المشترك الأكبر = 1 والمضاعف المشترك الأصغر = a × b. فمثلاً GCD(7, 13) = 1 و LCM(7, 13) = 91.
• العددان متساويان: GCD(n, n) = n و LCM(n, n) = n.

تطبيقات

اختزال الكسور

لاختزال $\dfrac{a}{b}$ إلى أبسط صورة، يُقسم البسط والمقام على $\gcd(a, b)$. فمثلاً، يُختزل $\dfrac{12}{8}$ إلى $\dfrac{3}{2}$ لأن $\gcd(12, 8) = 4$.

جمع الكسور

لحساب $\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8}$ يُحتاج إلى المقام المشترك الأصغر، وهو $\text{LCM}(12, 8) = 24$:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$

الدورات والفترات الزمنية

إذا تكرّر حدثان كل $a$ يوم و$b$ يوم على التوالي، فإنهما يتزامنان مرة أخرى بعد $\text{LCM}(a, b)$ يوماً. لهذا يظهر المضاعف المشترك الأصغر في نسب التروس وحسابات الأنماط المتكررة والمسائل الفلكية.

التشفير

تُعدّ خوارزمية إقليدس ركيزة أساسية في تشفير RSA؛ إذ يُستخدم القاسم المشترك الأكبر للتحقق من أن أسّ المفتاح المختار أوّلياً بالنسبة إلى دالة أويلر للمعامل.

مرجع سريع

الخاصية	الصيغة
خوارزمية إقليدس	$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)$
المضاعف المشترك الأصغر من القاسم المشترك الأكبر	$\text{lcm}(a,b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a,b)}$
الهوية	$\gcd(a,b) \times \text{lcm}(a,b) = a \times b$
اختزال الكسر	قسّم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر
المقام المشترك	استخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقامَين

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو القاسم المشترك الأكبر؟

القاسم المشترك الأكبر (GCD) لعددين صحيحين هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم كليهما دون باقٍ. على سبيل المثال، GCD(12, 8) = 4 لأن 4 هو أكبر عدد يقسم 12 و8 كليهما بالتساوي.

ما هو المضاعف المشترك الأصغر؟

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين صحيحين هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على كليهما. على سبيل المثال، LCM(12, 8) = 24 لأن 24 هو أصغر عدد يُعدّ مضاعفاً لكلٍّ من 12 و8.

ما العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟

لأي عددين صحيحين موجبين a وb: GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b. وهذا يعني أنه يمكن إيجاد أحدهما من الآخر: LCM = a × b ÷ GCD. هذه العلاقة هي السبب في أن القيمتين تُحسبان معاً في الغالب.