آخر تحديث: 2026-07-01

اختبار كاي تربيع للاستقلالية

يطرح اختبار كاي تربيع للاستقلالية سؤالًا واحدًا: هل متغيران فئويان قيسا على الأفراد أنفسهم مرتبطان أم مستقلان؟ تعيش البيانات في جدول توافق تحتوي كل خلية فيه على عدد المشاهدات الواقعة في تركيبة من الفئات — وفي جدول 2×2 فئتان لكل متغير. يقارن الاختبار التكرارات التي شاهدتها فعلًا بالتكرارات المتوقَّعة لو لم تكن هناك علاقة بين المتغيرين، ويعيد إحصائية ودرجات حريتها وقيمة احتمالية p. وهو الأداة القياسية لأسئلة مثل: هل يرتبط العلاج بالنتيجة، هل يعتمد التفضيل على الانتماء إلى مجموعة، أم هل تتحرك إجابتا استبيان معًا؟

التكرارات المتوقَّعة في ظل الاستقلالية

إذا كان المتغيران مستقلَّين، فإن نسبة العينة في أي صف لا ينبغي أن تعتمد على العمود الذي تنظر إليه. وهذا يحدّد ما ينبغي أن تحتويه كل خلية. التكرار المتوقَّع في خلية هو حاصل ضرب مجموع صفها في مجموع عمودها مقسومًا على المجموع الكلي:

$E_{ij} = \frac{(\text{مجموع الصف } i)\,(\text{مجموع العمود } j)}{N}$

حيث $N$ هو العدد الكلي للمشاهدات. وهذا ببساطة نسبة العينة في الصف $i$ مضروبةً في نسبتها في العمود $j$، ثم إعادة قياسها إلى $N$. والأهم أن التكرارات المتوقَّعة تأتي من هوامش الجدول نفسه — فأنت لا تقدّمها، وهذا ما يفصل هذا الاختبار عن اختبار جودة المطابقة.

الإحصائية

يلخّص الاختبار الفجوة بين المشاهدة والتوقع بإحصائية بيرسون:

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

مجموعةً على كل خلية، حيث $O$ تكرار مشاهَد و $E$ تكراره المتوقَّع. يُقسَم كل انحراف مربّع على التكرار المتوقَّع، فيثقل فارق مقداره عشرة عندما كان المتوقَّع خمسة، ويخفّ عندما كان المتوقَّع خمسة آلاف. ويعطي المجموع رقمًا واحدًا يكبر كلما ابتعد الجدول عن الاستقلالية. وعندما تساوي التكرارات المشاهَدة المتوقَّعة تمامًا، يكون كل حد صفرًا و $\chi^2 = 0$.

في جدول 2×2 ينهار المجموع كله إلى اختصار جبري مُحكَم. فإذا رمزنا للخلايا بـ

فإن الإحصائية تساوي

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

العوامل الأربعة في المقام هي مجموعا الصفين ومجموعا العمودين. أما حد الضرب المتقاطع $ad - bc$ فيقيس مدى ابتعاد الجدول عن التناسب: وهو يساوي صفرًا بالضبط عندما تكون الصفوف متناسبة، أي في حالة الاستقلالية التامة.

درجات الحرية والقيمة الاحتمالية p

تُقارَن الإحصائية بتوزيع كاي تربيع الذي يتحدّد شكله بدرجات حريته. وفي جدول التوافق،

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

حيث $r$ عدد الصفوف و $c$ عدد الأعمدة. لذا فإن لجدول 2×2 درجة حرية واحدة. وحدسيًا، بمجرد تثبيت مجاميع الصفوف والأعمدة، يحدّد ملء خلية واحدة كل الخلايا الأخرى، فلا تبقى سوى خلية واحدة حرة في التغيّر.

القيمة الاحتمالية p هي احتمال الذيل العلوي — أي احتمال رؤية إحصائية لا تقل عن المشاهَدة لو كان المتغيران مستقلَّين. والاختبار في جوهره أحادي الجانب من الذيل العلوي: فقط القيم الكبيرة لـ $\chi^2$ تشير إلى وجود علاقة، أما القيم الصغيرة فتعني أن الجدول قريب من الاستقلالية. قارن القيمة p بمستوى دلالة $\alpha$ (خمسة بالمئة عادةً). فإذا كان $p < \alpha$، فإن الابتعاد عن الاستقلالية أكبر مما يفسّره ضجيج العينة بسهولة، فتستنتج أن المتغيرين مرتبطان. وإذا كان $p \ge \alpha$، فإن البيانات متوافقة مع الاستقلالية — وهذا ليس كإثبات أن المتغيرين بلا علاقة.

مثال محلول

لنفترض أن عيادة سجّلت ما إذا تعافى المرضى في ظل علاجين:

هنا $a = 30$ و $b = 10$ و $c = 20$ و $d = 40$ و $N = 100$. وباستخدام الاختصار،

بجدول 2×2 يكون للاختبار درجة حرية واحدة. والقيمة p في الذيل العلوي عند $\chi^2 \approx 16.667$ بدرجة حرية واحدة نحو $0.0000446$. وبما أن $p \lt 0.01$، فثمة دليل قوي على أن التعافي مرتبط بالعلاج: فقد تعافى مرضى العلاج A أكثر بكثير مما تتنبأ به الاستقلالية.

الافتراضات

يقوم تقريب كاي تربيع على بضعة شروط. ينبغي أن تكون التكرارات المتوقَّعة كبيرة إلى حدٍّ معقول — وتقتضي قاعدة تقريبية شائعة ألّا يقل أي تكرار متوقَّع عن 5. وفي جدول 2×2 ذي تكرارات متوقَّعة صغيرة، طبّق تصحيح الاستمرارية لييتس أو انتقل إلى اختبار فيشر الدقيق. ويجب أن تكون المشاهدات مستقلة، بحيث يُحسب كل فرد مرة واحدة ويقع في خلية واحدة بالضبط، فلا ينطبق الاختبار على القياسات المزدوجة أو المتكررة (استخدم اختبار مكنمار لتلك الحالات). وأخيرًا، يعمل الاختبار على التكرارات الخام لا على النسب المئوية أو النسب: فحوّل أي معدلات إلى تكرارات قبل إدخالها.

لمقارنة متغير فئوي واحد بتوزيع مفترَض ثابت بدلًا من مقارنة متغيرين ببعضهما، انظر اختبار حسن المطابقة لمربع كاي؛ ولتحويل إحصائية z إلى احتمال ذيل، انظر حاسبة القيمة الاحتمالية من الدرجة المعيارية z.