Skip to content
تاريخ الإنشاء: 20 يوليو 2026 في 09:34 م

حاسبة معكوس مصفوفة 2×2

المعادلة

A = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}} \\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}

المدخلات

الصف 1، العمود 14
الصف 1، العمود 23
الصف 2، العمود 16
الصف 2، العمود 23

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/math/matrix-inverse-2x2

الرياضيات

حاسبة معكوس مصفوفة 2×2

احسب معكوس مصفوفة 2×2. أدخل العناصر الأربعة للحصول على المحدِّد وعناصر المعكوس، مع اشتقاق خطوة بخطوة باستخدام المصفوفة المرافقة.

المدخلات

A = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}} \\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

المحدِّد يساوي صفرًا، لذا فإن هذه المصفوفة شاذة وليس لها معكوس. غيِّر أحد العناصر بحيث لا يكون ad − bc مساويًا للصفر.

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تجد هذه الحاسبة معكوس مصفوفة 2×2. أدخل العناصر الأربعة للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]، فتُعيد المحدِّد والعناصر الأربعة لـ A⁻¹، مع اشتقاق خطوة بخطوة. وعندما لا يكون للمصفوفة معكوس، تُنبّهك إلى ذلك بدلًا من عرض أرقام بلا معنى.

يُكتب معكوس المصفوفة A بالرمز A−1A^{-1}، ويُعرَّف بالعلاقة AA−1=A−1A=IA A^{-1} = A^{-1} A = I، حيث II هي مصفوفة الوحدة.

صيغة معكوس 2×2

بالنسبة لمصفوفة 2×2، يُستخرج المعكوس من المصفوفة المرافقة مقسومةً على المحدِّد:

A=(abcd),A−1=1ad−bc(d−b−ca)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

هناك طريقة سهلة لتذكُّر جزء المصفوفة: بدِّل عنصري القطر الرئيسي (aa وdd)، واعكس إشارة عنصري القطر الثانوي (bb وcc)، ثم اقسم الكل على المحدِّد ad−bcad - bc.

المحدِّد أولًا

المحدِّد det⁡A=ad−bc\det A = ad - bc هو الذي يقرّر ما إذا كان المعكوس موجودًا أصلًا. فإن كان مختلفًا عن الصفر، أعطت الصيغة أعلاه المعكوس الوحيد. وإن كان صفرًا، فالمصفوفة شاذة ولا معكوس لها — إذ لا توجد مصفوفة تضربها فتحصل على مصفوفة الوحدة.

مثال محلول

لنأخذ المصفوفة [[4, 3], [6, 3]].

أولًا المحدِّد:

det⁡A=(4)(3)−(3)(6)=12−18=−6\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6

بما أن المحدِّد ليس صفرًا، فالمعكوس موجود. نطبّق الصيغة:

A−1=1−6(3−3−64)=(−0.50.51−0.6667)A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix}

التحقق من الإجابة

من العادات الجيدة ضرب المصفوفة الأصلية في المعكوس والتأكد من الحصول على مصفوفة الوحدة:

(4363)(−0.50.51−0.6667)=(1001)\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

الناتج هو مصفوفة الوحدة، مما يؤكّد صحة المعكوس. أما الفروق الصغيرة في المنزلة العشرية الأخيرة فناتجة فقط عن تقريب العناصر المعروضة.

عندما لا يوجد معكوس

تكون مصفوفة 2×2 شاذة عندما يكون ad−bc=0ad - bc = 0. هندسيًا، يقع متجها العمود على المستقيم نفسه، فيضغط التحويل المستوى إلى مستقيم وتُفقد المعلومات، ولا سبيل إلى عكسه. مثلًا، المصفوفة [[2, 4], [1, 2]] محدِّدها (2)(2)−(4)(1)=0(2)(2) - (4)(1) = 0، لذا ليس لها معكوس.

حل Ax = b باستخدام المعكوس

من أهم استخدامات المعكوس حلُّ نظام خطي. فإذا كان Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} وكانت AA قابلة للعكس، فإن ضرب الطرفين في A−1A^{-1} يعطي

x=A−1b.\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.

في نظام 2×2 يكون هذا طريقًا سريعًا إلى الحل بمجرد معرفة المعكوس. أما إذا كانت مصفوفة المعاملات شاذة، فإن النظام إما بلا حل أو له عدد لا نهائي من الحلول.

خواص مفيدة

  • (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A — العكس مرتين يُعيد المصفوفة الأصلية.
  • (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} — معكوس الجداء يعكس الترتيب.
  • det⁡(A−1)=1/det⁡(A)\det(A^{-1}) = 1 / \det(A) — محدِّد المعكوس هو مقلوب المحدِّد.
  • (AT)−1=(A−1)T(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}} — التبديل (الترانسبوز) والعكس قابلان للتبادل.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو معكوس المصفوفة؟

معكوس المصفوفة المربعة A، ويُكتب A⁻¹، هو المصفوفة التي تحقق A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I، حيث I هي مصفوفة الوحدة. الضرب في المعكوس يُلغي أثر الضرب في A، مما يجعله النظير المصفوفي للقسمة على عدد.

متى لا يكون لمصفوفة 2×2 معكوس؟

لا يكون لمصفوفة 2×2 معكوس بالضبط عندما يساوي محدِّدها ad − bc صفرًا. تُسمى هذه المصفوفة شاذة: صفوفها (أو أعمدتها) مرتبطة خطيًا، وتؤدي الصيغة إلى القسمة على صفر، ولا توجد مصفوفة تستطيع إلغاء التحويل الذي تمثّله.

ما هي صيغة معكوس مصفوفة 2×2؟

للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]] يكون المعكوس A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]. بعبارة أخرى: بدِّل عنصري القطر الرئيسي، واعكس إشارة عنصري القطر الثانوي، ثم اقسم كل عنصر على المحدِّد ad − bc.

كيف أتحقق من صحة المعكوس الذي حصلت عليه؟

اضرب المصفوفة الأصلية في المعكوس. إذا كان الناتج هو مصفوفة الوحدة 2×2 وهي [[1, 0], [0, 1]] فإن المعكوس صحيح. الفروق الصغيرة الناتجة عن تقريب المنازل العشرية المعروضة أمر طبيعي؛ والناتج الدقيق يكون دائمًا مصفوفة الوحدة عندما يكون المحدِّد مختلفًا عن الصفر.

التالي الموصى به

حاسبة محدِّد المصفوفة (2×2 و3×3)

احسب محدِّد مصفوفة 2×2 أو 3×3. أدخل العناصر للحصول على النتيجة مع اشتقاق خطوة بخطوة باستخدام ad − bc أو التوسيع بالعوامل المرافقة على الصف الأول.

 اعرف المزيد
حاسبة ضرب المصفوفات (2×2 و 3×3)

احسب حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين A·B. أدخل عناصر المصفوفتين بحجم 2×2 أو 3×3 واحصل على مصفوفة النتيجة.

 اعرف المزيد
حل نظام معادلتين بمجهولين — قاعدة كرامر

احسب حل نظام معادلتين خطيتين بمجهولين باستخدام قاعدة كرامر. أدخل المعاملات الستة للحصول على x وy والمحدد خطوة بخطوة.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗