آخر تحديث: 2026-06-23

حجم العينة (النسبة)

حجم العينة في تقدير نسبة هو عدد المستجيبين اللازم جمعهم لتقدير حصة معينة من المجتمع — مثل نسبة المؤيدين أو من يجيبون بـ"نعم" — ضمن دقة محددة سلفًا. عند جمع عدد قليل جدًا يصبح هامش الخطأ واسعًا إلى حد يعجز عن التمييز بين إجابات مختلفة فعليًا، وعند جمع عدد مفرط تُهدر الموارد على دقة لا حاجة إليها. حين تكون الكمية المقدَّرة نسبة، يتحدد حجم العينة مباشرة من ثلاثة اختيارات: درجة الثقة المطلوبة، ودرجة الدقة المطلوبة، وتقدير تقريبي للنسبة نفسها.

الصيغة

لتقدير نسبة المجتمع، يُعطى حجم العينة اللازم لبلوغ هامش خطأ مستهدف بالصيغة

$n = \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}$

ولكل حد دور متمايز:

• $z_{\alpha/2}$ هي القيمة الحرجة من التوزيع الطبيعي المعياري المقابلة لمستوى الثقة المختار. تساوي 1.645 لثقة 90 ٪، و1.96 لثقة 95 ٪، و2.576 لثقة 99 ٪. تعني الثقة الأعلى قيمة حرجة أكبر، ومن ثم عينة أكبر.
• $p$ هي النسبة المتوقعة (المفترضة) موضع التقدير، مكتوبة ككسر بين الصفر والواحد. ويمثّل الحد $p\,(1 - p)$ تباين استجابة ثنائية واحدة من نوع نعم/لا.
• $E$ هو هامش الخطأ، أي نصف عرض فترة الثقة، ودقة $\pm$ المطلوبة حول التقدير. يقع الهامش الأصغر في المقام مربعًا، لذا فإن تنصيف هامش الخطأ يضاعف حجم العينة نحو أربع مرات تقريبًا.

لماذا تُعد 50 ٪ القيمة الافتراضية الآمنة

الحد $p\,(1 - p)$ هو ما يجعل للنسبة أثرًا، وسلوكه ملائم. فهو يساوي صفرًا حين تكون النسبة 0 وحين تكون 1، ويبلغ أقصى قيمة له 0.25 عند نسبة 0.5 بالضبط. بعبارة أخرى، النسبة القريبة من النصف هي الأصعب في التقدير لأن الاستجابات تكون عند أقصى تباينها، بينما النسبة القريبة من الطرفين أيسر.

عند توفر تقدير موثوق للنسبة من دراسة تجريبية أو بحث سابق، يُستخدم ذلك التقدير، إذ تعطي قيمة بعيدة عن 0.5 عينة أصغر وأقل كلفة. أما في غياب أي تقدير سابق موثوق، فإن افتراض نسبة 0.5 هو الخيار المتحفظ. فهو يعظّم $p\,(1 - p)$، وينتج أكبر عينة مطلوبة، ويضمن من ثم تحقق هامش الخطأ أيًا كانت النسبة الحقيقية.

مثال محلول

لنفترض الرغبة في تقدير نسبة مجتمع بثقة 95 ٪ وهامش خطأ مقداره 5 نقاط مئوية، دون توفر تقدير سابق، فتُفترض نسبة 0.5. وبقيمة حرجة تساوي 1.96:

ويعطي التقريب لأعلى 385 مستجيبًا، وهو الرقم المألوف وراء عدد كبير من استطلاعات الرأي بهامش "±3 ٪" و"±5 ٪". أما اشتراط ثقة 99 ٪ فيرفع القيمة الحرجة إلى 2.576 ويدفع المطلوب إلى 664. ولو أشارت دراسة تجريبية إلى أن النسبة الحقيقية أقرب إلى 30 ٪، لصار $p\,(1 - p)$ يساوي 0.21 بدلًا من 0.25، ولانخفض المطلوب عند ثقة 95 ٪ إلى 323.

تصحيح المجتمع المنتهي

تفترض الصيغة أعلاه أن المجتمع لا نهائي فعليًا، وهو تقريب جيد حين تكون العينة شريحة صغيرة من مجموعة كبيرة. أما حين تشكّل العينة حصة كبيرة من مجتمع صغير معلوم $N$ — والقاعدة العامة الشائعة هي أكثر من نحو 5 ٪ منه — فيُطبَّق تصحيح المجتمع المنتهي:

$n_{\text{adj}} = \dfrac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}$

ويخفّض هذا التصحيح المطلوب دائمًا، وأحيانًا بقدر ملموس. فمسح 385 شخصًا من بلدة عدد سكانها 2,000 مثلًا يقلّص العينة اللازمة بفضل التصحيح إلى نحو 323. وفي المجتمعات الكبيرة يكون التعديل ضئيلًا ويمكن إهماله.

التقريب لأعلى

يجب أن يكون حجم العينة عددًا صحيحًا من المستجيبين، ونادرًا ما تعطي الصيغة عددًا صحيحًا. لذا يُقرَّب الناتج لأعلى دائمًا لا إلى أقرب قيمة: فالتقريب لأسفل يترك هامش الخطأ المحقَّق أوسع قليلًا من المحدد، بينما يضمن التقريب لأعلى الدقة المطلوبة. وينطبق المنطق نفسه على حاسبة حاسبة حجم العينة لتقدير الوسط المرافقة التي تحدد حجم دراسة لتقدير متوسط بدلًا من نسبة، وعلى حاسبة حاسبة هامش الخطأ التي تعكس العلاقة لتعطي الدقة التي توفرها عينة معينة.