آخر تحديث: 2026-07-02

تعريف القطع المكافئ بالبؤرة والدليل

القطع المكافئ هو مجموعة كل النقاط التي تبعد عن نقطة ثابتة — البؤرة — بقدر بُعدها عن خط ثابت — الدليل. هذا الشرط التوازني الواحد هو ما يمنح القطع المكافئ شكله. أما نقطة انعطاف المنحنى — الرأس — فتقع تمامًا في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل.

بالنسبة إلى قطع مكافئ ينفتح رأسيًا (لأعلى أو لأسفل) رأسه $(h, k)$، فإن الصيغة القياسية هي:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

العدد $p$ هو البُعد البؤري — المسافة ذات الإشارة من الرأس إلى البؤرة. ومنه تُستنتَج كل خصائص القطع المكافئ:

$\text{البؤرة} = (h,\ k + p) \qquad \text{الدليل: } y = k - p \qquad \text{المحور: } x = h$

تأخذ هذه الأداة الرأس مع $p$ أو المعامل الرئيسي $a$، وتُرجِع البؤرة والدليل ومحور التماثل والبُعد البؤري والوتر البؤري القائم، مع خطوات الحل.

البُعد البؤري والبؤرة والدليل

بما أن الرأس يقع في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل، فإن كلًّا منهما يبعد عن الرأس مسافة $|p|$، على جهتين متقابلتين. فبالسير مسافة $p$ على طول المحور $x = h$ انطلاقًا من الرأس نصل إلى البؤرة، وبالسير مسافة $p$ في الاتجاه المعاكس نصل إلى الدليل.

$\text{البؤرة} = (h,\ k + p) \qquad \text{الدليل: } y = k - p$

إشارة $p$ تحدد جهة الانفتاح. فإذا كان $p > 0$ انفتح المنحنى لأعلى وكانت البؤرة فوق الرأس، وإذا كان $p < 0$ انفتح لأسفل وكانت البؤرة تحته.

الوتر البؤري القائم

الوتر البؤري القائم هو الوتر المار بالبؤرة والعمودي على محور التماثل — أي «عرض» القطع المكافئ مقيسًا عند ارتفاع البؤرة. وطوله:

$L = |4p|$

طرفا الوتر البؤري القائم هما $(h - 2p,\ k + p)$ و$(h + 2p,\ k + p)$، وهي طريقة سريعة لتحديد نقطتين إضافيتين عند ارتفاع البؤرة.

صيغة المعامل

تكتب كثير من الكتب المدرسية القطع المكافئ الرأسي بالصورة $y = a(x - h)^2 + k$. وهو المنحنى نفسه — لكنه محلول بالنسبة إلى $y$. وبمقارنته بالصيغة القياسية تتضح العلاقة بين المعامل الرئيسي $a$ والبُعد البؤري $p$:

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

كلما كبرت القيمة $|a|$ صار القطع أضيق وأقصر بُعدًا بؤريًا، وكلما صغرت $|a|$ صار القطع أوسع والبؤرة أبعد عن الرأس. ولأن $a$ وَ$p$ لهما دائمًا الإشارة نفسها، فإن أيًّا منهما يدل على جهة الانفتاح.

مثال محلول

المسألة: أوجد البؤرة والدليل ومحور التماثل والوتر البؤري القائم للقطع $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$.

الخطوة 1 — قراءة الرأس. بالمقارنة مع $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ نحصل على $h = 1$ وَ$k = -2$، فالرأس هو $(1, -2)$.

الخطوة 2 — إيجاد البُعد البؤري. المعامل على اليمين هو $4p = 8$، إذن:

$p = \frac{8}{4} = 2$

الخطوة 3 — إيجاد البؤرة. تحرَّك $p = 2$ لأعلى على طول المحور انطلاقًا من الرأس:

$\text{البؤرة} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

الخطوة 4 — إيجاد الدليل. تحرَّك $p = 2$ في الاتجاه المعاكس:

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

الخطوة 5 — المحور والوتر البؤري القائم.

$\text{المحور: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

إذن ينفتح القطع المكافئ لأعلى وله بؤرة $(1, 0)$ ودليل $y = -4$ ومحور $x = 1$ ووتر بؤري قائم طوله $8$. وبصيغة المعامل يُكتَب المنحنى نفسه $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$، لأن $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$.

قراءة الرسم البياني

يجمع الرسم بين الرأس $V$ والبؤرة $F$ والدليل $d$ لإظهار التوازن الذي يُعرِّف المنحنى: اختر أي نقطة على القطع المكافئ، فتجد أن بُعدها نزولًا إلى الدليل يساوي بُعدها إلى البؤرة. ويقع الرأس دائمًا في منتصف المسافة بين $F$ وَ$d$، والشكل كله متماثل حول المحور $x = h$.

ملاحظات وحدود

تتناول هذه الأداة القطوع المكافئة الرأسية من الصورة $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ التي تنفتح لأعلى أو لأسفل. أما القطوع الأفقية $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ التي تنفتح يمينًا أو يسارًا فتتبادل فيها أدوار $x$ وَ$y$: محورها أفقي، والبؤرة عند $(h + p, k)$، والدليل هو الخط الرأسي $x = h - p$. ويجب أن يكون البُعد البؤري $p$ غير صفري — فعند $p = 0$ يتحلل المنحنى ولا يوجد قطع مكافئ.