آخر تحديث: 2026-05-18

المثلث متساوي الساقين

المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان يُسمَّيان الساقين (كلٌّ منهما بطول $a$) وضلع ثالث يُسمَّى القاعدة (طولها $b$). الزاويتان عند طرفَي القاعدة — زاويتا القاعدة $\beta$ — متساويتان، فيما تُسمَّى الزاوية بين الساقين زاوية الرأس $\theta$. يكفي قياسان مستقلان لتحديد المثلث تماماً.

الارتفاع والمساحة والمحيط

يُرسم عمودٌ من الرأس إلى منتصف القاعدة؛ فبحكم التماثل يقع تماماً في المنتصف، مكوِّناً مثلثَين قائمَين متطابقَين وتر كلٍّ منهما $a$ وساق $b/2$. تنبثق من هذا التماثل العلاقات التالية:

$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

$S = \frac{b \cdot h}{2}, \qquad P = 2a + b$

الزوايا

في المثلث القائم المولَّد بالارتفاع، الضلع المجاور لزاوية القاعدة هو $b/2$ والوتر هو $a$، فيكون:

$\beta = \arccos\!\frac{b}{2a}$

ومن مجموع الزوايا الداخلية ($180°$):

$\theta = 180° - 2\beta$

نصفا قطر الدائرتين المحيطة والمحاطة

الدائرة المحيطة تمر بالرؤوس الثلاثة، ونصف قطرها مشتق من صيغة المثلث العامة $R = abc/(4S)$، ولأن الساقين متساويتان:

$R = \frac{a^2 b}{4S}$

الدائرة المحاطة تماسّ الأضلاع الثلاثة من الداخل، ونصف قطرها:

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{2a + b}{2}$

حيث $s$ هو نصف المحيط.

الحساب من الساق وزاوية الرأس

عند معرفة $a$ و $\theta$ بدلاً من $a$ و $b$، يُنصَّف $\theta$ ليعطي $\theta/2$ في كل مثلث قائم، فتتحصّل:

$b = 2a\sin\!\frac{\theta}{2}, \qquad h = a\cos\!\frac{\theta}{2}$

$S = \frac{1}{2}\,a^2\sin\theta$

مثال عددي

بالنسبة لمثلث ساقه $a = 5$ وقاعدته $b = 6$:

$h = \sqrt{25 - 9} = 4, \quad S = \frac{6 \times 4}{2} = 12, \quad P = 16$

$\beta = \arccos(0.6) \approx 53.13°, \quad \theta = 180° - 106.26° \approx 73.74°$

$R = \frac{25 \times 6}{4 \times 12} = \frac{150}{48} = 3.125, \quad r = \frac{12}{8} = 1.5$

حالات خاصة

الشكل	زاوية الرأس θ	ملاحظات
متساوي الأضلاع	60°	الأضلاع الثلاثة متساوية
قائم متساوي الساقين	90°	القاعدة $= a\sqrt{2}$

عندما $a = b$ يكون المثلث متساوي الأضلاع. يشترط لوجود المثلث أن يكون $b < 2a$.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أحسب ارتفاع المثلث متساوي الساقين؟

نرسم عموداً من الرأس إلى منتصف القاعدة؛ فبحكم التماثل يقع العمود تماماً في منتصفها، مكوِّناً مثلثين قائمين متطابقين، وتر كل منهما a وساق b/2. بتطبيق نظرية فيثاغورس: h² = a² − (b/2)²، أي h = √(a² − b²/4). مثال: a = 5، b = 6 → h = √(25 − 9) = √16 = 4.

كيف أحسب مساحة المثلث متساوي الساقين من الأضلاع؟

بعد إيجاد الارتفاع h = √(a² − b²/4)، تُحسب المساحة بـ S = b × h ÷ 2 = (b ÷ 2) × √(a² − b²/4). للمثال a = 5، b = 6: h = 4، إذن S = 6 × 4 ÷ 2 = 12. إن كانت زاوية الرأس θ معلومة، تُستخدم صيغة ض.ز.ض: S = ½ × a² × sin θ.

كيف أجد زوايا المثلث متساوي الساقين إذا عرفت أضلاعه؟

زاوية القاعدة β تحقق cos β = (b ÷ 2) ÷ a = b ÷ (2a)، فتكون β = arccos(b ÷ (2a)). وزاوية الرأس θ = 180° − 2β. مثال: a = 5، b = 6 → β = arccos(0.6) ≈ 53.13°، θ = 180° − 106.26° = 73.74°.

ما الفرق بين المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع؟

المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان على الأقل، أما متساوي الأضلاع فأضلاعه الثلاثة متساوية. كل مثلث متساوي الأضلاع هو متساوي الساقين، لكن العكس ليس صحيحاً. متساوي الأضلاع هو الحالة الخاصة من متساوي الساقين حيث تكون زاوية الرأس 60° والقاعدة مساوية للساق.