آخر تحديث: 2026-05-18

المخروط القائم

المخروط القائم جسمٌ هندسي ثلاثي الأبعاد قاعدتُه دائرة مستوية ورأسُه نقطة تقع مباشرةً فوق مركز القاعدة على المحور العمودي. يُحدَّد شكله بمعاملَين: نصف قطر القاعدة r والارتفاع العمودي h، وتُستخرج منهما أربع خصائص هندسية: الحجم، والمولّد، والمساحة الجانبية، والمساحة الكلية.

الصيغ الرياضية

لمخروط بنصف قطر قاعدة r وارتفاع عمودي h:

المولّد

المولّد $l$ هو المسافة المستقيمة من رأس المخروط إلى أي نقطة على محيط القاعدة، مقيسةً على طول السطح الجانبي. نظرًا لأن r وh وl تُشكِّل مثلثًا قائم الزاوية، تعطي نظرية فيثاغورس مباشرةً: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

المولّد ضروري عند تغطية السطح الجانبي للمخروط بمادة ما؛ إذ يتحوَّل هذا السطح عند نشره إلى قطاع دائري نصف قطره $l$ وطول قوسه $2\pi r$.

عامل الثلث في حجم المخروط

حجم المخروط القائم يساوي ثلث حجم الأسطوانة التي تحيط به وتشاركه القاعدة والارتفاع ذاتهما. أثبت إقليدس هذه الحقيقة في كتاب العناصر (الكتاب الثاني عشر، المسألة العاشرة): أسطوانة واحدة بنفس القاعدة والارتفاع تعادل ثلاثة مخاريط متطابقة. رياضيًا، يظهر عامل الثلث عند تكامل المقاطع الدائرية من القاعدة إلى الرأس، إذ تتناقص مساحة المقطع تناقصًا تربيعيًا مع الارتفاع فتنتج قيمة تساوي ثلث قيمة المقطع الثابت في الأسطوانة.

يمكن التحقق من ذلك تجريبيًا بملء المخروط بالماء وسكبه في الأسطوانة ثلاث مرات — تمتلئ الأسطوانة تمامًا في المرة الثالثة.

مثال محلول

مخروط نصف قطر قاعدته $r = 7$ سم وارتفاعه $h = 24$ سم:

المولّد: $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ سم}$

الحجم: $V = \tfrac{1}{3} \times \pi \times 7^2 \times 24 = \tfrac{1}{3}\pi \times 1176 \approx 1231{,}5 \text{ سم}^3$

المساحة الجانبية: $A_\text{ج} = \pi \times 7 \times 25 \approx 549{,}8 \text{ سم}^2$

المساحة الكلية: $A_\text{ك} = \pi \times 7 \times (7 + 25) \approx 703{,}7 \text{ سم}^2$

نطاق التطبيق: المخاريط القائمة

تسري الصيغ أعلاه على المخروط القائم الذي يكون محوره عموديًا على القاعدة. في المخروط المائل — حيث يكون الرأس منزاحًا عن مركز القاعدة — تبقى صيغة الحجم $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ صحيحةً طالما كان $h$ هو الارتفاع العمودي الحقيقي، غير أن صيغة المساحة الجانبية تختلف وتصبح أعقد. معظم المخاريط في الاستخدام العملي — مخاريط الآيس كريم، والقمع، ومخاريط السلامة المرورية، وقبعات الحفلات — مخاريطُ قائمة، وهذه الحاسبة تغطي الغالبية العظمى من الحالات العملية.