آخر تحديث: 2026-06-23

ما الذي تحسبه هذه الأداة

تحسب هذه الأداة هامش الخطأ لتقدير متوسط مجتمع انطلاقًا من عينة، إلى جانب فترة الثقة المحيطة بمتوسط العينة. تُدخَل قيم مستوى الثقة والانحراف المعياري وحجم العينة ومتوسط العينة المرصود.

ما هامش الخطأ

عندما يقدّر استطلاع أو مسح أو تجربة متوسطًا انطلاقًا من عينة، لا يكون التقدير مضبوطًا تمامًا، إذ تعطي عينة عشوائية أخرى متوسطًا مختلفًا قليلًا. ويعبّر هامش الخطأ عن عدم اليقين الناشئ عن المعاينة. وهو قيمة «الزائد أو الناقص» التي تُذكر مع نتائج من قبيل «بلغ متوسط الرضا 7.2 من 10، ±0.3». وهو رسميًا نصف عرض فترة الثقة: المسافة من متوسط العينة إلى أي من طرفي الفترة.

الصيغة

من أجل متوسط مجتمع بانحراف معياري معلوم (أو مقدَّر تقديرًا جيدًا) يكون هامش الخطأ:

• E — هامش الخطأ (نصف عرض الفترة)
• z — القيمة الحرجة من التوزيع الطبيعي المعياري، يحددها مستوى الثقة (1.645 لمستوى 90٪، و1.96 لمستوى 95٪، و2.576 لمستوى 99٪)
• σ — الانحراف المعياري للبيانات
• n — حجم العينة

والحد $\sigma/\sqrt{n}$ هو الخطأ المعياري للمتوسط: الانحراف المعياري لتوزيع المعاينة لمتوسط العينة. وضربه في القيمة الحرجة يوسّعه ليبلغ مستوى الثقة المطلوب.

وتكون فترة الثقة عندئذٍ متوسط العينة زائدًا أو ناقصًا هذا الهامش:

فمتوسط عينة $\bar{x}$ بهامش خطأ $E$ يعطي الفترة من $\bar{x} - E$ إلى $\bar{x} + E$. وعند ثقة 95٪ يعني هذا أنه لو أُعيدت الدراسة مرات كثيرة لاحتوى نحو 95٪ من الفترات المبنية بهذه الطريقة على متوسط المجتمع الحقيقي.

لماذا يتقلص الهامش بمقدار √n

لأن حجم العينة يدخل الصيغة تحت جذر تربيعي، يتناقص هامش الخطأ بنسبة $1/\sqrt{n}$ لا بنسبة عكسية مع $n$ نفسها. ويترتب على ذلك تناقص في الفائدة:

ولخفض هامش الخطأ إلى النصف يلزم تربيع حجم العينة. وقانون الجذر التربيعي هذا هو سبب احتفاظ المسوح الوطنية الكبيرة بهوامش تبلغ بضع نقاط مئوية، وسبب ارتفاع كلفة كل وحدة إضافية من الدقة تدريجيًا.

مثال محلول

لنفترض عينة حجمها 100 بانحراف معياري قدره 15 ومتوسط قدره 50، ومطلوب فترة ثقة 95٪. القيمة الحرجة هي 1.96:

هامش الخطأ هو ±2.94، وفترة الثقة 95٪ تمتد من 47.06 إلى 52.94. ويُقرأ هذا بأن متوسط المجتمع يقع على الأرجح في أي موضع ضمن هذا المدى استنادًا إلى هذه العينة.

عندما يكون σ مجهولًا أو n صغيرًا

تفترض الصيغة السابقة أن الانحراف المعياري للمجتمع σ معلوم، أو أن العينة كبيرة بما يكفي ليكون الانحراف المعياري للعينة s بديلًا موثوقًا. وقاعدة عامة شائعة هي $n \geq 30$.

أما إذا كان σ مجهولًا والعينة صغيرة، فتُستبدل بالقيمة الحرجة الطبيعية قيمة من توزيع t الذي تكون أطرافه أثقل لمراعاة عدم اليقين الإضافي في تقدير σ من البيانات:

وتعتمد قيمة t على درجات الحرية، وهي أقل من حجم العينة بواحد، وتكون دائمًا أكبر قليلًا من قيمة z المقابلة، فتوسّع الفترة. وكلما كبرت n عادت قيمة t لتقترب من z.

هامش الخطأ للنسبة

تتناول هذه الأداة هامش الخطأ لـمتوسط. أما بالنسبة لـنسبة — مثل حصة المستجيبين الذين أجابوا بـ«نعم» — فيختلف الخطأ المعياري، ويصبح هامش الخطأ:

حيث $p$ هو نسبة العينة. وتبلغ هذه الصيغة أقصاها عند مساواة $p$ للنصف، ولهذا كثيرًا ما يذكر القائمون على الاستطلاعات الهامش الأكثر تحفظًا المحسوب عند تلك القيمة.

حاسبات ذات صلة

تبني حاسبة فترة الثقة الفترة الكاملة حول التقدير وتتيح العمل بالمتوسطات والنسب معًا. وعند التخطيط لدراسة واختيار n مسبقًا لبلوغ هامش مستهدف، تُستخدم حاسبة حجم العينة لتقدير الوسط لعكس الصيغة وحل المعادلة لإيجاد حجم العينة اللازم.