آخر تحديث: 2026-05-19

تعريف المتتالية الحسابية

المتتالية الحسابية هي متتالية من الأعداد يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتاً، ويُسمى هذا الفرق الأساس (d)، بينما يُسمى أول حد الحد الأول (a₁). تبدو المتتالية على الصورة التالية:

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

مثال: 3، 7، 11، 15، … (a₁ = 3، d = 4). تحسب هذه الأداة في خطوة واحدة الحد n (aₙ)، ومجموع أول n حد (Sₙ)، ومتوسط تلك الحدود.

قانون الحد العام

الحد n في المتتالية الحسابية هو:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

لماذا؟ للانتقال من a₁ إلى aₙ نحتاج إلى n−1 خطوة، نضيف في كل خطوة الأساس d.

مثال تطبيقي. المتتالية 5، 9، 13، 17، … (a₁ = 5، d = 4). الحد الخامس عشر هو:

$$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 4 = 5 + 56 = 61$$

قانون المجموع وطريقة غاوس

مجموع أول n حد في المتتالية الحسابية هو:

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

تقول الرواية إن غاوس الصغير أجرى عملية جمع الأعداد من 1 إلى 100 ذهنياً حين لاحظ أن مجموع الحدود المتناظرة دائماً ثابت:

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

عدد الأزواج 50، ومجموع كل زوج 101، فيكون الإجمالي 50 × 101 = 5050. بشكل عام، يكون عدد الأزواج n/2 ومجموع كل منها a₁ + aₙ. إذا لم يكن aₙ معروفاً، يمكن الاستعانة مباشرة بـ:

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

المتوسط

متوسط أول n حد يساوي المتوسط الحسابي للحد الأول والأخير:

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

يعكس ذلك التوزيع المتماثل للحدود حول هذه القيمة الوسطى.

الصلة بالدوال الخطية

المتتاليات الحسابية هي نسخة منفصلة من الدوال الخطية. إذا رسمنا ترتيب الحد n على المحور الأفقي وقيمة aₙ على المحور الرأسي، وقعت النقاط جميعها على خط مستقيم:

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

الأساس d يقابل الميل، و(a₁ − d) يقابل نقطة تقاطع الخط مع المحور الرأسي. وتُدرَّس هذه العلاقة في مناهج الرياضيات الثانوية في الدول العربية ضمن وحدة المتتاليات والدوال.

حالات خاصة

الشرط	النتيجة
d = 0	متتالية ثابتة؛ Sₙ = n·a₁
d < 0	متتالية تنازلية
d كسر	صالح تماماً؛ حدود عشرية متساوية الفجوات
n = 1	aₙ = a₁؛ S₁ = a₁؛ المتوسط = a₁

مثال بقيم واقعية

موظف يتقاضى 3000 ريال في الشهر الأول وتزداد رواتبه بمقدار 200 ريال كل شهر (a₁ = 3000، d = 200). ما راتبه في الشهر الثاني عشر وما إجمالي ما يتقاضاه خلال عام كامل؟

• a₁ = 3000 ريال، d = 200 ريال، n = 12
• a₁₂ = 3000 + 11 × 200 = 3000 + 2200 = 5200 ريال
• S₁₂ = 12 × (3000 + 5200) ÷ 2 = 12 × 4100 = 49200 ريال
• متوسط الراتب الشهري: 4100 ريال

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أجد الحد n في المتتالية الحسابية؟

يُحسب الحد n بالقانون aₙ = a₁ + (n − 1)·d، حيث a₁ هو الحد الأول وd هو الأساس وn هو ترتيب الحد. مثال: في المتتالية 2, 5, 8, 11, … (a₁ = 2، d = 3)، الحد العاشر = 2 + 9×3 = 29.

ما قانون مجموع المتتالية الحسابية؟

مجموع أول n حد هو Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. يستند هذا القانون إلى فكرة غاوس في التزاوج: مجموع الحد الأول والأخير دائماً a₁ + aₙ، وعدد هذه الأزواج n/2. يمكن كتابته أيضاً: Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2.

ما الفرق بين المتتالية الحسابية والهندسية؟

في المتتالية الحسابية يُضاف أساس ثابت d في كل خطوة (نمو خطي)، أما في المتتالية الهندسية فيُضرب في نسبة ثابتة q (نمو أسي). مثال: 2, 5, 8, 11 متتالية حسابية (d = 3)؛ بينما 2, 6, 18, 54 متتالية هندسية (q = 3).

هل يمكن أن يكون الأساس سالباً أو كسراً؟

نعم، d يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. الأساس السالب ينتج متتالية تنازلية (مثل 10, 7, 4, 1, −2, …)، والكسور والأعداد العشرية صالحة تماماً (مثل d = 0.5 تعطي 1, 1.5, 2, 2.5, …). عندما d = 0 تكون جميع الحدود مساوية لـ a₁ وSₙ = n·a₁.