آخر تحديث: 2026-06-23

مبرهنة بايز

مبرهنة بايز قاعدة لتحديث احتمال عند ورود دليل جديد. تأخذ اعتقادًا مبدئيًا حول مدى احتمال أمر ما، وتدمجه مع مدى قوة دلالة الدليل في اتجاه أو آخر، فتعيد اعتقادًا منقَّحًا. تطبّق هذه الحاسبة المبرهنة على أكثر الحالات شيوعًا — الفحص التشخيصي — فتحوّل معدل انتشار حالة ودقة فحص إلى احتمال أن تكون النتيجة الإيجابية حقيقية.

الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي $P(A|B)$ هو احتمال أن يكون $A$ صحيحًا بشرط مشاهدة $B$. ويختلف عن الاحتمال المجرد $P(A)$ لأن مشاهدة $B$ تحمل معلومة. فالفحص الطبي الإيجابي لا يجعل المرض مؤكدًا؛ بل يرفع الاحتمال بمقدار يتوقف على جودة الفحص وعلى مدى شيوع المرض في الأصل. وتعمل حاسبة حاسبة الاحتمال الشرطي ونظرية بايز ذات الصلة مباشرة على $P(A \cap B)$ و$P(B)$ حين تكون هذه القيم معلومة.

الصيغة

تربط مبرهنة بايز بين الاتجاهين الشرطيين:

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

ولكل حد اسم:

• الاحتمال القبلي $P(A)$ هو احتمال $A$ قبل الدليل — وهو في الفحص معدل انتشار الحالة.
• الأرجحية $P(B|A)$ هي مدى احتمال الدليل حين يتحقق $A$ — أي حساسية الفحص، أو معدل الإيجابية الحقيقية.
• الاحتمال الهامشي (أو الدليل) $P(B)$ هو الاحتمال الكلي لمشاهدة الدليل أصلًا، عبر الحالات التي يصح فيها $A$ والحالات التي لا يصح فيها. ويتوسع إلى $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$، حيث $P(B|\lnot A)$ هو معدل الإيجابية الكاذبة.
• الاحتمال البعدي $P(A|B)$ هو النتيجة: احتمال $A$ بعد الدليل.

مغالطة المعدل الأساسي

أشيع خطأ في قراءة نتيجة فحص هو الخلط بين دقة الفحص واحتمال أن تكون النتيجة الإيجابية حقيقية. وهما سؤالان مختلفان، تكون إجابتاهما شديدتي التباين حين تكون الحالة نادرة. فالفحص الذي حساسيته 90% ونوعيته 95% يبدو موثوقًا، لكن إذا كان واحد فقط من كل 100 شخص مصابًا بالحالة، فإن معدل الإيجابية الكاذبة الصغير يُطبَّق على الأشخاص الأصحاء التسعة والتسعين — وهم من الكثرة بحيث تفوق الإنذارات الكاذبة الإيجابيات الحقيقية أضعافًا. وتجاهل معدل الانتشار على هذا النحو يسمى مغالطة المعدل الأساسي.

مثال محلول

لنفترض أن حالة تصيب 1% من السكان الخاضعين للفحص، وأن الفحص يكشف 90% من الحالات الحقيقية، ويُظهر خطأً 5% من الأصحاء كإيجابيين. فالاحتمال القبلي معدل انتشار قدره 0.01، والحساسية 0.90، ومعدل الإيجابية الكاذبة 0.05:

وهكذا ترفع النتيجة الإيجابية احتمال الحالة من 1% إلى نحو 15%. لقد حرّك الفحص الاحتمال كثيرًا — بمقدار خمسة عشر ضعفًا — ومع ذلك تبقى النتيجة الإيجابية الواحدة أرجح خطأً منها صحةً. ولهذا يُتبَع فحص الحالات النادرة عادةً بفحص ثانٍ أعلى نوعية بدلًا من اعتباره قاطعًا.

امتدادات

يمكن كتابة المبرهنة نفسها في صورة الأرجحية النسبية (الأودز)، وهي تيسّر غالبًا تتبع عملية التحديث: تساوي الأرجحية البعدية الأرجحية القبلية مضروبة في نسبة الأرجحية $P(B|A) / P(B|\lnot A)$. ففي المثال السابق تكون الأرجحية القبلية واحدًا إلى تسعة وتسعين، ونسبة الأرجحية ثمانية عشر، فتنتج أرجحية بعدية مقدارها ثمانية عشر إلى تسعة وتسعين، أي نحو 15% — وهي الإجابة نفسها. وتقارن حاسبة حاسبة نسبة الأرجحية ذات الصلة الوثيقة بين نسبتين كهاتين مباشرة.

كما تدعم مبرهنة بايز التحديث المتتالي: فبعد فحص واحد، يصبح الاحتمال البعدي هو الاحتمال القبلي للفحص التالي. وفحصان إيجابيان مستقلان، يُطبَّق كل منهما بدوره، يدفعان الاحتمال إلى ما هو أعلى بكثير مما يبلغه أيٌّ منهما منفردًا — وهو بالضبط كيف يكتسب الفحص التأكيدي ثقته. وكلما تراكم الدليل قطعةً بعد قطعة، انطبقت القاعدة نفسها في كل خطوة، إذ يصبح استنتاج الأمس نقطة انطلاق اليوم.