حاسبة الاحتمال الشرطي ونظرية بايز

آخر تحديث: 2026-05-20

الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي P(A|B) هو احتمال وقوع الحدث أ بافتراض أن الحدث ب قد وقع فعلًا؛ يُضيَّق الفضاء العيني من جميع النتائج الممكنة إلى تلك التي تحقق فيها ب فحسب، ثم تُحسب نسبة هذه النتائج التي يتحقق فيها أ أيضًا.

تعتمد الحاسبة ثلاثة مدخلات: الاحتمال القبلي P(A)، والاحتمال الشرطي P(B|A)، ونسبة الإيجابية الكاذبة P(B|¬A) — لتحسب الاحتمال البعدي P(A|B) بنظرية بايز، إلى جانب الاحتمال المشترك P(A∩B) والاحتمال الكلي P(B).

نظرية بايز خطوة بخطوة

تربط نظرية بايز الاحتمال البعدي بالاحتمال القبلي عبر دليلين متكاملين:

الخطوة الأولى — الاحتمال المشترك

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

وهو احتمال أن يتحقق أ ويظهر الدليل ب في الوقت ذاته.

الخطوة الثانية — الاحتمال الكلي لـ ب

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

يمكن أن يظهر ب عبر مسارين: حين يكون أ صحيحًا (مرجَّحًا بالاحتمال القبلي)، وحين يكون أ خاطئًا (مرجَّحًا بنسبة الإيجابية الكاذبة). مجموع المسارين يُعطي الاحتمال الكلي لظهور ب.

الخطوة الثالثة — الاحتمال البعدي بنظرية بايز

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

الاحتمال البعدي هو نسبة "حالات ب" التي تنطوي أيضًا على أ.

أساس الصيغة

الحدس بسيط: من بين جميع المرات التي يظهر فيها ب، بعضها إيجابيات حقيقية (تحقق أ وأنتج ب)، وبعضها إيجابيات كاذبة (لم يتحقق أ لكن ظهر ب على أي حال). تُحصي نظرية بايز كلا المجموعتين بدقة. إن كانت مجموعة الإيجابيات الكاذبة كبيرة — إما لارتفاع P(B|¬A) أو لشيوع حالة ¬أ — أضعفت الإيجابيات الحقيقية وانخفض الاحتمال البعدي.

مثال محلول: مفارقة التشخيص الطبي

مرض يُصيب 1% من السكان. يتمتع الاختبار التشخيصي بحساسية 99% (P(B|A) = 0.99) ونسبة إيجابية كاذبة 5% (P(B|¬A) = 0.05). جاءت نتيجة الاختبار إيجابية. ما احتمال الإصابة الفعلية بالمرض؟

الخطوة الأولى: P(A∩B) = 0.01 × 0.99 = 0.0099

الخطوة الثانية: P(B) = 0.01 × 0.99 + 0.99 × 0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594

الخطوة الثالثة: P(A|B) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 16.7%

على الرغم من أن حساسية الاختبار 99%، فإن النتيجة الإيجابية لا تعني سوى احتمال واحد من ستة تقريبًا للإصابة بالمرض. فالـ 99% من السكان الأصحاء يُنتجون إيجابيات كاذبة أكثر بكثير (نحو 5%) مما يُنتجه الـ 1% من المرضى من إيجابيات حقيقية (نحو 1%)، فيغرق الإشارة في الضوضاء. هذه النتيجة المدهشة هي السبب في أن الاختبار التأكيدي بات ركيزة ثابتة في الممارسة الطبية.

مغالطة معدل الأساس

مغالطة معدل الأساس هي خطأ إهمال الاحتمال القبلي عند تقييم الأدلة. في المثال أعلاه، الانجذاب إلى دقة الاختبار (99%) والجزم بالإصابة يُغفل معلومة محورية: المرض نادر. كلما ندر الحدث، كان على الاختبار أن يكون أشد حساسيةً وأعلى نوعيةً كي تصبح النتيجة الإيجابية ذات مغزى حقيقي. يمكن ملاحظة هذا الأثر بتخفيض قيمة P(A) في الحاسبة: ينخفض الاحتمال البعدي انخفاضًا ملحوظًا حتى مع اختبار بالغ الدقة.

الاستقلالية الإحصائية

إن تساوى P(B|A) و P(B|¬A)، فالدليل ب مستقل إحصائيًا عن أ — ومشاهدة ب لا تُضيف شيئًا حول احتمال وقوع أ. في هذه الحالة يُساوي الاحتمال الكلي P(B) القيمة المشتركة للاحتمالَين، وتُبسَّط نظرية بايز إلى P(A|B) = P(A). يمكن التحقق من ذلك بضبط P(B|A) = P(B|¬A) = 50% في الحاسبة: يتساوى الاحتمال البعدي مع القبلي بصرف النظر عن قيمة P(A).