حاسبة المميز للمعادلة التربيعية
احسب المميز D = b²−4ac. أدخل المعاملات a وb وc لتحديد طبيعة الجذور: جذران حقيقيان مختلفان، أو جذر مضاعف، أو جذران مركبان مترافقان.
المدخلات
النتائج
تعريف المميز
المميز للمعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 هو التعبير D = b² − 4ac. يُحدد هذا العدد طبيعة جذور المعادلة دون الحاجة إلى حلها بالكامل. يكفي إشارة D وحدها لمعرفة ما إذا كانت الجذور حقيقية مختلفة أو مضاعفة أو مركبة. وهو مفهوم أساسي في مناهج الرياضيات بالمرحلة الثانوية في معظم الدول العربية، ويُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة.
خطوات حساب المميز
- تربيع المعامل الأوسط: b²
- ضرب المعاملين الطرفيين في أربعة: 4 × a × c
- الطرح: D = b² − 4ac
لا حاجة لجذور تربيعية أو كسور في هذه المرحلة؛ ثلاث عمليات أساسية تكفي. إشارة النتيجة تحدد طبيعة الجذور مباشرة.
إشارة المميز وطبيعة الجذور
| المميز | طبيعة الجذور | وضع القطع المكافئ |
|---|---|---|
| D > 0 | جذران حقيقيان مختلفان | يقطع المحور السيني في نقطتين |
| D = 0 | جذر حقيقي مضاعف | يلامس المحور السيني عند الرأس |
| D < 0 | جذران مركبان مترافقان | لا يقاطع المحور السيني |
حين يكون D = 0 يقع رأس القطع المكافئ بالضبط على المحور السيني ويكون الجذر الوحيد هو x = −b / (2a).
أمثلة محلولة
مثال 1 — D > 0 (جذران حقيقيان مختلفان)
المعادلة: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1، b = −5، c = 6)
الحساب: b² = 25، 4ac = 24، D = 25 − 24 = 1
بما أن D = 1 > 0 فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان. بتطبيق القانون العام نحصل على x = 2 وx = 3، وهما نقطتا تقاطع القطع المكافئ y = x² − 5x + 6 مع المحور السيني.
مثال 2 — D = 0 (جذر مضاعف)
المعادلة: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1، b = −6، c = 9)
الحساب: b² = 36، 4ac = 36، D = 36 − 36 = 0
الجذر المضاعف هو x = −(−6) / (2 × 1) = 3. تتحلل المعادلة إلى (x − 3)² = 0 ويلامس القطع المكافئ المحور السيني عند رأسه في النقطة x = 3.
مثال 3 — D < 0 (جذران مركبان)
المعادلة: x² + x + 1 = 0 (a = 1، b = 1، c = 1)
الحساب: b² = 1، 4ac = 4، D = 1 − 4 = −3
بما أن D = −3 < 0 فلا توجد جذور حقيقية. الجذران هما العددان المركبان المترافقان . القيمة التي تعرضها الحاسبة تمثل قيمة الجزء التخيلي المطلقة.
العلاقة بالقانون العام
القانون العام للمعادلة التربيعية هو:
المقدار تحت الجذر هو بالضبط المميز D. حين يكون D > 0 يكون موجباً حقيقياً وتُعطي العلامة ± جذرين مختلفين. حين يكون D = 0 يساوي الجذر صفراً ويبقى جذر وحيد. حين يكون D < 0 يكون تخيلياً وتُنتج الصيغة جذرين مركبين مترافقين. حساب المميز أولاً يوفر الوقت بتحديد الحالة قبل إتمام الحل الكامل.
الحالة الخاصة: a = 0
إذا كان a = 0 تتحول المعادلة ax² + bx + c = 0 إلى معادلة خطية bx + c = 0. يمكن حساب D = b² − 4ac وسيُعطي قيمة (b²) لكنها لا تحمل معنى المميز للمعادلة التربيعية. تشترط هذه الحاسبة أن يكون a ≠ 0 وتعرض رسالة خطأ إذا أُدخلت a = 0. حل المعادلة الخطية هو x = −c / b بشرط أن يكون b ≠ 0.
الأسئلة الشائعة (FAQ)
ما فائدة المميز في المعادلة التربيعية؟
المميز D = b² − 4ac يحدد طبيعة جذور المعادلة ax² + bx + c = 0 دون الحاجة إلى حلها فعلياً.
إذا كان D > 0 فالقطع المكافئ y = ax² + bx + c يقطع المحور السيني في نقطتين مختلفتين، وللمعادلة جذران حقيقيان. إذا كان D = 0 يلامس المحور السيني في نقطة واحدة عند الرأس وللمعادلة جذر مضاعف. إذا كان D < 0 لا يقطع المحور السيني وتكون الجذور مركبة. المميز هو بالضبط المقدار الذي يقع تحت الجذر في القانون العام، لذا يحدد نوع الجذور.
ماذا يعني أن يكون المميز سالباً؟
حين يكون D = b² − 4ac < 0 يصبح √D عدداً تخيلياً، وليس للمعادلة جذور حقيقية. الجذران هما عددان مركبان مترافقان على الصورة α ± βi حيث α = −b / (2a) وβ = √|D| / (2a).
إذا كانت المعاملات a وb وc أعداداً حقيقية فإن الجذور المركبة تظهر دائماً في أزواج مترافقة. هندسياً يعني ذلك أن القطع المكافئ يقع كلياً فوق المحور السيني أو تحته دون أن يقاطعه.
ما العلاقة بين المميز والقانون العام للمعادلة التربيعية؟
القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) يحتوي على المميز D تحت الجذر مباشرة. حين يكون D > 0 يكون √D موجباً حقيقياً ويعطي العلامة ± جذرين مختلفين. حين يكون D = 0 يساوي الجذر صفراً ويبقى جذر وحيد هو x = −b / (2a).
حين يكون D < 0 يكون √D تخيلياً وينتج عن القانون جذران مركبان مترافقان. المميز يكشف مسبقاً في أي حالة نحن قبل إكمال الحساب.
ماذا يحدث إذا كان a يساوي الصفر؟
إذا كان a = 0 تتحول المعادلة ax² + bx + c = 0 إلى معادلة خطية من الدرجة الأولى bx + c = 0. يمكن حساب D = b² − 4ac وسيعطي قيمة (b²) لكن هذه القيمة لا تحمل معنى المميز للمعادلة التربيعية. تشترط هذه الحاسبة أن يكون a ≠ 0 وتعرض رسالة خطأ إذا أدخلت a = 0. حل المعادلة الخطية هو x = −c / b شريطة أن يكون b ≠ 0.