حاسبة معامل ارتباط بيرسون

آخر تحديث: 2026-05-22

تعريف معامل ارتباط بيرسون

معامل ارتباط بيرسون r مقياسٌ إحصائي عديم الأبعاد يقيس قوة العلاقة الخطية بين متغيرَين عدديَّين واتجاهها. تتراوح قيمته بين −1 و+1: تعني القيمة +1 ارتباطاً خطياً موجباً تاماً، وتعني −1 ارتباطاً خطياً سلبياً تاماً، وتعني القيمة 0 غياب أي علاقة خطية. يُستخدم هذا المعامل على نطاق واسع في الإحصاء والعلوم الاجتماعية والهندسة وتحليل البيانات لقياس ما إذا كان متغيران يتحركان معاً في نمط خطي.

لحساب المعامل، تُدخَل مجموعتا البيانات كأرقام مفصولة بفواصل بعدد متساوٍ، فتُعاد قيمة r ومعامل التحديد r² وتفسيراً لقوة الارتباط.

الصيغة الرياضية

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

البسط هو مجموع حاصلات ضرب الانحرافات، ويقيس ما إذا كانت X وY تنحرفان عن وسطَيهما في الاتجاه نفسه (حاصل ضرب موجب) أم في اتجاهَين متعاكسَين (حاصل ضرب سالب). المقام يُعيد التوحيد القياسي بقسمة الناتج على إجمالي الانتشار في كل متغير، لذا تقع قيمة r دائماً بين −1 و+1 بصرف النظر عن مقياس X أو Y.

مثال محلول خطوة بخطوة

باستخدام مجموعة البيانات الافتراضية: X = [1, 2, 3, 4, 5] وY = [2, 4, 5, 4, 5].

الخطوة 1 — حساب الوسط الحسابي.

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4$

الخطوة 2 — حساب الانحرافات وحاصلات الضرب.

i	xᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ	yᵢ − ȳ	(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)	(xᵢ−x̄)²	(yᵢ−ȳ)²
1	1	−2	2	−2	4	4	4
2	2	−1	4	0	0	1	0
3	3	0	5	+1	0	0	1
4	4	+1	4	0	0	1	0
5	5	+2	5	+1	2	4	1
		Σ			6	10	6

الخطوة 3 — تطبيق الصيغة.

$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$

$r^2 = (0.7746)^2 \approx 0.60$

التفسير: r ≈ 0.77، وهو ارتباط موجب قوي. يُفسَّر نحو 60% من التباين في Y بالعلاقة الخطية مع X.

تفسير قيم r

نطاق r	التفسير
0.7 ≤ r ≤ 1.0	ارتباط موجب قوي (r = 1: تام)
0.3 ≤ r < 0.7	ارتباط موجب متوسط
−0.3 < r < 0.3	ارتباط ضعيف أو لا توجد علاقة خطية
−0.7 < r ≤ −0.3	ارتباط سلبي متوسط
−1.0 ≤ r ≤ −0.7	ارتباط سلبي قوي (r = −1: تام)

هذه العتبات مبادئ توجيهية وليست قواعد مطلقة. في علم الأوبئة قد تكون r = 0.3 ذات دلالة عملية مهمة، بينما في الهندسة قد يُعدّ r < 0.99 مؤشراً على ضوضاء غير مقبولة.

r في مقابل r²

يجيب كلٌّ من r و r² على سؤال مختلف:

• r يقيس اتجاه العلاقة الخطية وشدّتها. قيمة −0.9 تعني ارتباطاً بنفس قوة +0.9؛ الإشارة تُحدد الاتجاه فقط.
• r² (معامل التحديد) يعبّر عن نسبة التباين في Y الذي تُفسّره العلاقة الخطية مع X. يتراوح بين 0 و1 وليس له إشارة. r² = 0.64 يعني أن 64% من التشتت في Y يعود إلى الاتجاه الخطي مع X.

يُستخدم r للإجابة عن "ما مدى ضيق التناسب الخطي؟"، ويُستخدم r² للإجابة عن "كم يُفسِّر X من التباين؟"

الارتباط ليس سببية

ارتفاع قيمة r يعني فقط أن X وY تتحركان معاً خطياً — لا يقول ذلك شيئاً عن السبب. أمثلة كلاسيكية:

• مبيعات المثلجات ومعدلات الغرق ترتفعان معاً في الصيف (السبب المشترك: الحرارة).
• مقاس القدم ومستوى القراءة يرتبطان إيجابياً عند الأطفال (السبب المشترك: العمر).
• الدول ذات الكثافة الأعلى في امتلاك أجهزة التلفاز تتمتع بمعدلات عمر متوقع أطول (كلاهما يعكس مستوى الدخل).

لإثبات السببية لا بد من تجارب خاضعة للضبط، واستبعاد المتغيرات المربكة، والتحقق من أن السبب يسبق النتيجة زمنياً.

ارتباط سبيرمان كبديل لبيرسون

يفترض ارتباط بيرسون ما يلي:

1. أن يكون كلا المتغيرَين مستمرَّين (مقياس فتري أو نسبي).
2. أن تكون العلاقة بينهما خطية تقريباً.
3. ألا تهيمن قيم شاذة على المجموع.

حين تتهاوى هذه الافتراضات، يُفضَّل اللجوء إلى ارتباط سبيرمان الرتبي: تُحوَّل مجموعتا البيانات إلى رتب ثم يُحسب معامل بيرسون على تلك الرتب. يتعامل سبيرمان مع البيانات الترتيبية والعلاقات الرتيبة غير الخطية والبيانات المحتوية على قيم شاذة بكفاءة أعلى من بيرسون. قاعدة عامة: إذا أظهر مخطط الانتشار نمطاً منتظماً لكنه منحنٍ بوضوح، أو كانت نقطة أو نقطتان بعيدتَين جداً عن سائر البيانات، فسبيرمان هو الاختيار الأسلم.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ماذا تعني قيمة r = 0.7؟

تدل قيمة r = 0.7 على وجود علاقة خطية موجبة قوية بين X وY؛ فكلما ازدادت X ارتفعت Y معها بصورة منتظمة نسبياً.

يُعدّ |r| ≥ 0.7 ارتباطاً قوياً بوجه عام، بينما تشير 0.3 ≤ |r| < 0.7 إلى ارتباط متوسط، و|r| < 0.3 إلى ارتباط ضعيف. غير أن هذه العتبات ليست مطلقة؛ ففي العلوم الاجتماعية قد تُعتبر r = 0.5 قوية، بينما في الهندسة قد يُعدّ r = 0.95 مخيباً للتوقعات.

هل يعني الارتباط المرتفع وجود علاقة سببية؟

لا. ارتفاع قيمة r يعني فقط أن X وY تتحركان معاً في اتجاه خطي، لكنه لا يفسّر لماذا يحدث ذلك. قد تكون هناك متغيرات خفية تؤثر على كليهما في آنٍ واحد.

مثال شهير: مبيعات المثلجات وحوادث الغرق ترتفعان معاً في الصيف — لأن الحرارة هي السبب المشترك لا المثلجات. لإثبات السببية لا بد من تجارب خاضعة للضبط، والتحقق من تقدّم السبب على النتيجة زمنياً، واستبعاد المتغيرات المربكة.

ما الفرق بين r و r²؟

يقيس r (معامل بيرسون) اتجاه العلاقة الخطية وشدّتها، وتتراوح قيمته بين −1 (ارتباط سلبي تام) و+1 (ارتباط موجب تام). أما r² (معامل التحديد) فيعبّر عن نسبة التباين في Y الذي تفسّره العلاقة الخطية مع X.

فمثلاً عند r = 0.8 نحصل على r² = 0.64، أي أن 64% من التباين في Y مردّه إلى العلاقة الخطية مع X. r² قيمة موجبة دائماً وأسهل تفسيراً كنسبة مئوية، لكنها تفقد معلومة الاتجاه — لا يمكن من r² وحده معرفة ما إذا كانت العلاقة موجبة أم سالبة.

متى يُفضَّل استخدام ارتباط سبيرمان بدلاً من بيرسون؟

يُفضَّل ارتباط سبيرمان الرتبي حين تكون البيانات ترتيبية (فئات مرتّبة)، أو حين تكون العلاقة بين X وY رتيبة لكن غير خطية، أو حين تحتوي البيانات على قيم شاذة مؤثرة. يعتمد سبيرمان على ترتيب القيم بدلاً من قيمها الفعلية، مما يجعله أقل حساسية للقيم المتطرفة والأنماط المنحنية.

في المقابل، يُعطي بيرسون أفضل النتائج حين يكون كلا المتغيرَين مستمرَّين وموزَّعَين توزيعاً طبيعياً تقريباً وتربطهما علاقة خطية. قاعدة عامة: إذا أظهر مخطط الانتشار نمطاً منحنياً منتظماً، أو كانت نقطة أو نقطتان بعيدتَين جداً عن البقية، فسبيرمان هو الاختيار الأسلم.