آخر تحديث: 2026-06-23

التعريف

الانحدار الخطي البسيط نموذج يصف العلاقة بين متغير مستقل x ومتغير تابع y عبر تركيب خط مستقيم على الصورة

$\hat{y} = a + b\,x$

حيث b هو الميل (متوسط التغير في y لكل تغير بمقدار وحدة في x)، و a هو المقطع (القيمة المتوقعة لـ y عندما x = 0). والقيمة المركّبة ŷ تقدير لـ y عند قيمة معطاة لـ x، ويُسمى الفرق بين قيمة مرصودة yᵢ وقيمتها المركّبة، $e_i = y_i - \hat{y}_i$، البقية.

طريقة المربعات الصغرى

يمكن رسم خطوط كثيرة عبر سحابة من النقاط. وتختار طريقة المربعات الصغرى الخط الذي يجعل مجموع مربعات البواقي أصغر ما يمكن،

$\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a - b\,x_i\bigr)^2.$

يُعاقب التربيع الانحرافات الكبيرة بقدر يفوق الصغيرة، ويمنع البواقي الموجبة والسالبة من إلغاء بعضها. وإذ يملك تصغير هذا المجموع حلًا مغلق الصيغة، فلا حاجة إلى التكرار.

الصيغ

ليكن $\bar{x}$ و $\bar{y}$ وسطَي x و y. عندئذ يكون ميل المربعات الصغرى ومقطعها

$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}, \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}.$

يقيس بسط b مدى تغاير x و y، فيما يقيس المقام تشتت x. وتضمن صيغة المقطع مرور الخط المركّب بنقطة الوسطين $(\bar{x}, \bar{y})$.

معامل التحديد

يُبلّغ معامل التحديد $R^2$ عن نسبة التباين في y التي يفسرها الخط المركّب:

$R^2 = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2}.$

ويتراوح بين 0 (لا يفسر الخط أي قدر من التباين) و 1 (يمر الخط تمامًا بكل نقطة). وفي الانحدار الخطي البسيط يساوي $R^2$ مربع معامل ارتباط بيرسون r، فالارتباط القوي يستلزم قيمة $R^2$ عالية. ولقياس الاقتران ذي الصلة، انظر حاسبة حاسبة معامل ارتباط بيرسون.

مثال محلول

باستخدام مجموعة البيانات الافتراضية، X = [1, 2, 3, 4, 5] و Y = [2, 4, 5, 4, 5]، يكون الوسطان $\bar{x} = 3$ و $\bar{y} = 4$. وحساب مجاميع الانحرافات يعطي $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 = 10$، و $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6$، و $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2 = 6$.

يرتفع الخط المركّب ŷ = 2.2 + 0.6·x بمقدار 0.6 في y لكل وحدة من x، ويفسر نحو 60% من التباين في y.

الافتراضات والحدود

يكون خط المربعات الصغرى أوثق ما يكون حين تتحقق عدة شروط:

• الخطية. ينبغي أن يكون الخط المستقيم تلخيصًا معقولًا للنمط. فإن انحنت النقاط فقد ينتج التركيب الخطي قيمة $R^2$ متوسطة مع تفويت الاتجاه بصورة منتظمة؛ ويُستحسن فحص مخطط الانتشار قبل الركون إلى الميل.
• القيم الشاذة. لأن البواقي تُربَّع، قد تجذب نقطة بعيدة وحيدة الخط نحوها فتشوّه الميل و $R^2$ معًا. ويُستحسن فحص النقاط المتطرفة قبل استخلاص النتائج.
• نطاق التنبؤ. يحفّ الخطر بالاستقراء بعيدًا خارج نطاق x المرصود، إذ قد لا تصمد العلاقة الخطية هناك، ولا يكون المقطع قابلًا للتفسير إلا حين يكون x = 0 قريبًا من البيانات.
• الارتباط ليس سببية. التركيب الجيد يُظهر أن x و y يتحركان معًا، لكنه لا يثبت أن x يسبب y، إذ قد يقود متغير ثالث كامن كليهما. وتوحيد المتغيرات عبر حاسبة الدرجة المعيارية (Z-Score) قد يعين على مقارنة الآثار، أما الادعاءات السببية فتتطلب دراسة مضبوطة.

ورغم هذه التحفظات، يظل الانحدار الخطي البسيط من أوسع الأدوات استخدامًا في الإحصاء، إذ يقدم تلخيصًا شفافًا مغلق الصيغة لكيفية اعتماد متغير على آخر.