حاسبة الدرجة المعيارية (Z-Score)

آخر تحديث: 2026-05-19

كيف يعمل هذا الحاسبة

الدرجة المعيارية (z-score) هي مقياس يعبّر عن موضع قيمة ما بالنسبة إلى وسط توزيعها بوحدات الانحراف المعياري. تُحوَّل الدرجة المعيارية إلى مئيني تقريبي بافتراض التوزيع الطبيعي؛ وتُدخَل القيمة المرصودة والوسط الحسابي والانحراف المعياري دون الحاجة إلى جداول z.

ما هي الدرجة المعيارية؟

الدرجة المعيارية (المعروفة أيضاً بـ Z-Score) تقيس عدد الانحرافات المعيارية التي تفصل قيمة معينة عن وسط التوزيع:

• x — القيمة المرصودة
• μ — وسط المجتمع (أو العينة)
• σ — الانحراف المعياري

درجة Z = 0 تعني أن x مساوية للوسط. Z = +1.5 تعني أنها أعلى منه بمقدار 1.5 انحراف معياري، وZ = −2 تعني أنها أقل منه بمقدار انحرافين. الإشارة تحدد الاتجاه، والقيمة المطلقة تحدد المسافة.

لماذا نستخدم الدرجات المعيارية؟

تتيح الدرجات المعيارية مقارنة قيم تنتمي إلى توزيعات مختلفة على مقياس موحد:

• طالب حصل على 85 في الرياضيات (وسط 70، σ = 10) وعلى 70 في اللغة العربية (وسط 55، σ = 10) — الدرجة المعيارية في كلا المادتين z = 1.5، أي أن أداءه النسبي متطابق.
• طول 175 سم لامرأة (وسط ≈ 158 سم، σ ≈ 6 سم) يعطي z ≈ 2.8 — مرتفع جداً نسبةً للمتوسط. أما لرجل (وسط ≈ 172 سم، σ ≈ 7 سم) فيعطي z ≈ 0.4 — قريب من الوسط.

بدون التحويل المعياري تغدو هذه المقارنات عديمة المعنى.

قاعدة 68-95-99.7

لأي توزيع طبيعي:

وبالتالي فإن القيم التي تتجاوز |z| ≥ 2 لا تمثل سوى 4.6% من التوزيع الطبيعي، وتلك التي تتجاوز |z| ≥ 3 أقل من 0.3%. يرتكز ضبط الجودة الإحصائي على هذه الخاصية في قاعدة "ثلاثة انحرافات معيارية".

من الدرجة المعيارية إلى المئيني

إذا كانت البيانات تتبع التوزيع الطبيعي، يُحسب المئيني من دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري مضروبةً في 100:

تحسب الحاسبة Φ(z) داخلياً عبر دالة الخطأ erf (المعرَّفة بـ $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$). قيم مرجعية رئيسية:

الانحراف المعياري للمجتمع مقابل العينة

الصيغة واحدة في الحالتين، لكن نوع الانحراف المعياري يؤثر في النتيجة:

• انحراف المجتمع (σ) — حين تتوفر بيانات المجتمع الإحصائي كاملاً (مثل درجات جميع الطلاب في الفصل). المقام: n.
• انحراف العينة (s) — حين تكون البيانات عينة مسحوبة من مجتمع أكبر. المقام: n − 1 (تصحيح بيسل)، وهو أكبر قليلاً من σ.

تستخدم كتب الإحصاء عادةً انحراف المجتمع في حسابات الدرجة المعيارية، أما في الإحصاء الاستدلالي فيُستخدم انحراف العينة في الغالب.

أمثلة عملية

المثال الأول — درجة اختبار

حصل طالب على 85 درجة في اختبار متوسطه 70 وانحرافه المعياري 10.

Φ(1.5) ≈ 0.933 — أي أن الطالب في المئيني 93، أعلى من نحو 93% من أقرانه.

المثال الثاني — الطول

طول رجل 182 سم. المرجع للذكور البالغين: μ ≈ 170 سم، σ ≈ 7 سم.

Φ(1.71) ≈ 0.956 — أطول من نحو 95.6% من الذكور في هذه المجموعة.

المثال الثالث — ضبط الجودة

قطعة يجب أن يكون وزنها 500 غرام بانحراف معياري 15 غراماً. وُجدت قطعة تزن 455 غراماً.

Φ(−3.0) ≈ 0.0013 — أي أن 0.13% فقط من القطع الطبيعية تزن هذا الوزن أو أقل. القيمة تتجاوز ثلاثة انحرافات معيارية: معيار الرفض الشائع في ضبط الجودة الإحصائي.

حالات لا يكون فيها المئيني موثوقاً

يفترض تحويل الدرجة المعيارية إلى مئيني أن البيانات طبيعية التوزيع. تنخفض الدقة في الحالات التالية:

• التوزيعات المتحيزة (الدخول، أوقات الاستجابة) — قد يختلف المئيني الحقيقي اختلافاً ملحوظاً.
• التوزيعات ذات الذيول الثقيلة (عوائد الأصول المالية) — تظهر القيم المتطرفة بتواتر أعلى بكثير مما يتنبأ به التوزيع الطبيعي.
• البيانات المتقطعة (العدد، التقييمات على مقاييس محدودة) — استخدمه تقريباً فحسب.

في هذه الحالات تظل الدرجة المعيارية أداةً مفيدة للمقارنة النسبية، مع توخي الحذر في تفسير رقم المئيني.

الفرق بين هذه الحاسبة وحاسبة التوزيع الطبيعي

تعرض حاسبة التوزيع الطبيعي إضافةً إلى ذلك الكثافة الاحتمالية f(x) والاحتمالين P(X < x) وP(X > x). استخدم هذه الحاسبة حين تحتاج إلى تحويل قيمة واحدة بسرعة إلى درجة معيارية والاطلاع على مئينها.