حاسبة التوزيع الطبيعي

آخر تحديث: 2026-05-18

حاسبة التوزيع الطبيعي

تحسب هذه الحاسبة درجة Z والاحتمال التراكمي P(X < x) والاحتمال المتمم P(X > x) والمئين وكثافة الاحتمال f(x) لأي توزيع طبيعي (غاوسي)، بإدخال القيمة المرصودة ومتوسط المجتمع والانحراف المعياري، دون الحاجة إلى جداول إحصائية.

ما هو التوزيع الطبيعي؟

التوزيع الطبيعي توزيع احتمالي متصل متماثل حول متوسطه، يأخذ شكل منحنى الجرس. يصف كثيراً من الظواهر الطبيعية: توزيع الأطوال بين السكان، وأخطاء القياس، ونتائج الاختبارات المعيارية، والعائدات المالية — وكلها تقترب من المنحنى الجرسي عند توفر عينات كافية الحجم.

يُحدَّد شكل التوزيع بمعاملين فقط:

• μ (المتوسط) — مركز التوزيع
• σ (الانحراف المعياري) — مدى انتشار القيم؛ كلما كبر σ اتسعت الفجوة وتسطّح المنحنى

دالة كثافة الاحتمال هي:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

درجة Z

تحوّل درجة Z أي قيمة إلى وحدات الانحراف المعياري بالنسبة للمتوسط:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

درجة Z	التفسير
z = 0	القيمة تساوي المتوسط
z = 1	انحراف معياري واحد فوق المتوسط
z = −2	انحرافان معياريان دون المتوسط
z > 3	قيمة طرفية — تحدث بأقل من 0.3%

تتيح درجة Z مقارنة قيم من توزيعات ذات مقاييس مختلفة — مثل مقارنة درجات طالب في اختبارين يختلفان في المتوسط والانحراف المعياري.

الاحتمال التراكمي: P(X < x)

P(X < x) هو المساحة الواقعة تحت منحنى الجرس إلى يسار x، وتمثل احتمال أن تكون قيمة مسحوبة عشوائياً من هذا التوزيع أقل من x:

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

هنا Φ(z) هي دالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع الطبيعي المعياري N(0, 1)، وerf هي دالة الخطأ — دالة رياضية خاصة تُعرَّف بـ $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$.

تستخدم هذه الحاسبة التقريب النسبي من Abramowitz & Stegun §7.1.26 (خطأ أقصى < 1.5 × 10⁻⁷)، بدقة تصل إلى 6 أرقام معنوية.

قاعدة 68–95–99.7

في أي توزيع طبيعي، ثلاث نسب مئوية مستديرة تصف النطاق العملي للقيم:

النطاق	الاحتمال
μ ± 1σ	~68.3%
μ ± 2σ	~95.4%
μ ± 3σ	~99.7%

يعني ذلك أن قيمة واحدة تقريباً من كل 370 تقع على بُعد أكثر من 3 انحرافات معيارية من المتوسط. تعتمد ضبط الجودة الصناعية على معيار 3σ أو 6σ كحد فاصل بين الإنتاج المقبول والمعيب — ومصطلح «ستة سيجما» مشتق من هذه الحقيقة.

مثال تطبيقي

في اختبار وطني، بلغ متوسط الدرجات μ = 65 والانحراف المعياري σ = 12. حصل أحد الطلاب على x = 83.

$$z = \frac{83 - 65}{12} = 1.5$$ $$P(X < 83) = \Phi(1.5) \approx 0.9332$$

أحرز هذا الطالب ما يعادل تقريباً المئين الثالث والتسعين — تفوّق على نحو 93.3% من المتقدمين. لم يتجاوزه إلا نحو 6.7% فقط.

كثافة الاحتمال f(x) والاحتمال التراكمي: الفرق بينهما

الكمية	الرمز	المعنى
كثافة الاحتمال	f(x)	ارتفاع المنحنى عند x — ليست احتمالاً بحد ذاتها
الاحتمال التراكمي	P(X < x)	المساحة تحت المنحنى يسار x — وهي الاحتمال الحقيقي

يمكن أن تتجاوز f(x) القيمةَ 1 في التوزيعات الضيقة (σ صغير)، لأنها كثافة وليست احتمالاً. في التوزيع المتصل، احتمال قيمة واحدة محددة بدقة يساوي دائماً صفراً؛ فقط الفترات لها احتمالات غير صفرية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي درجة Z وكيف تُحسب؟

درجة Z تقيس عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها قيمةٌ ما عن المتوسط: z = (x − μ) / σ. درجة Z = 0 تعني أن القيمة تساوي المتوسط؛ Z = 1 تعني انحرافاً معيارياً واحداً فوق المتوسط؛ Z = −2 تعني انحرافَين معياريَّين دون المتوسط.

تتيح درجة Z مقارنة قيم من توزيعات مختلفة المتوسطات والانتشار بوضعها على مقياس موحد، كمقارنة نتائج الطلاب في اختبارات ذات درجات متفاوتة.

ماذا تعني P(X < x) في التوزيع الطبيعي؟

P(X < x) هو الاحتمال التراكمي، أي احتمال أن تكون قيمة مسحوبة عشوائياً من هذا التوزيع أقل من x. يساوي هذا الاحتمال المساحةَ تحت منحنى الجرس إلى يسار x. فمثلاً، P(X < 75) = 0.69 يعني أن نحو 69% من قيم هذا التوزيع تقل عن 75. أما P(X > x) = 1 − P(X < x) فيغطي الذيل الأيمن من المنحنى.

ما هي قاعدة 68-95-99.7؟

في أي توزيع طبيعي، تقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط (Z بين −1 و+1)، وحوالي 95% ضمن انحرافين معياريين، و99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.

لهذا السبب تُعدّ القيم التي تتجاوز |Z| > 3 قيماً شاذة إحصائياً، إذ لا تحدث إلا بنسبة أقل من 0.3% في التوزيع الطبيعي. وتعتمد ضبط الجودة الصناعية على هذه القاعدة في معايير 3σ و6σ.

كيف أستخرج المئين من درجة Z؟

المئين يساوي P(X < x) × 100. درجة Z = 0 تقابل المئين الخمسين (نصف التوزيع بالضبط يقع دون المتوسط)؛ Z = 1.28 تقابل المئين التسعين تقريباً؛ Z = 1.645 تقابل المئين الخامس والتسعين؛ Z = 2.326 تقابل المئين التاسع والتسعين. تحسب هذه الحاسبة المئين مباشرةً دون الحاجة إلى جداول Z.