حل نظام معادلتين بمجهولين — قاعدة كرامر

آخر تحديث: 2026-05-19

نظام المعادلتين الخطيتين بمجهولين

نظام المعادلات الخطية بمجهولين هو مجموعة معادلتين تحتويان على مجهولين اثنين (x وy)، ويُكتب في الصورة:

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

بإدخال المعاملات الستة (a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂)، تُطبَّق قاعدة كرامر لإيجاد قيمتَي x وy، أو يُكشَف ما إذا كان النظام لا يملك حلاً أو يملك حلولاً لا نهائية. تُعرض جميع الخطوات الوسيطة على الشاشة.

قاعدة كرامر

تبدأ الخطوة الأولى بحساب محدد مصفوفة المعاملات:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

حين يكون D ≠ 0، يكون الحل الوحيد للنظام:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

كل بسط هو محدد المصفوفة الناتجة باستبدال عمود المعاملات بمتجه الحدود المستقلة، وهو ما يُمثّل التفصيل المكوّني لصيغة $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

المعنى الهندسي

كل معادلة من الصورة $ax + by = c$ تمثّل مستقيماً في المستوى xy. وحل النظام يعني إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين.

• D ≠ 0 (حل وحيد): يتقاطع المستقيمان في نقطة واحدة، ومصفوفة المعاملات قابلة للعكس.
• D = 0 والبسطان كلاهما صفر (حلول لا نهائية): المستقيمان متطابقان — إحدى المعادلتين مضاعف للأخرى — وكل نقطة على المستقيم تحقق النظام.
• D = 0 وأحد البسطين غير صفري (لا يوجد حل): المستقيمان متوازيان ولا يلتقيان، فلا يوجد أي زوج (x, y) يحقق المعادلتين معاً.

مثال محلول

نحلّ النظام المُعيَّن افتراضياً:

$2x + 3y = 8 \quad \text{و} \quad x - y = 1$

الخطوة الأولى — حساب المحدد:

$\mathit{D} = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

بما أن D ≠ 0، للنظام حل وحيد.

الخطوة الثانية — حساب x:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2.2$

الخطوة الثالثة — حساب y:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1.2$

التحقق:

$2 \times 2.2 + 3 \times 1.2 = 4.4 + 3.6 = 8 \checkmark \quad \text{و} \quad 2.2 - 1.2 = 1 \checkmark$

حين يساوي المحدد الصفر

إذا كان D = 0، فصفّا مصفوفة المعاملات متناسبان: $[a_1, b_1] = k[a_2, b_2]$. يحدد الطرف الأيمن حينئذٍ طبيعة النظام:

• إذا كان $c_1 = kc_2$، فكلا البسطين صفر ← حلول لا نهائية.
• إذا كان $c_1 \neq kc_2$، فأحد البسطين على الأقل غير صفري ← لا يوجد حل.

عملياً، يكفي حساب البسطين $c_1 b_2 - c_2 b_1$ و $a_1 c_2 - a_2 c_1$: إن كانا كلاهما صفراً مع D = 0 فالنظام يملك حلولاً لا نهائية، وإلا فلا يملك حلاً.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الذي يخبرنا به المحدد في نظام المعادلات؟

المحدد D = a₁b₂ − a₂b₁ يكشف ما إذا كانت مصفوفة المعاملات قابلةً للعكس. إذا كان D ≠ 0 فالمستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة ويكون للنظام حل وحيد. أما إذا كان D = 0 فالمستقيمان إما متوازيان أو متطابقان، وحينئذٍ إما لا يوجد حل وإما توجد حلول لا نهائية.

متى يكون لنظام المعادلتين حلول لا نهائية؟

حين تمثل المعادلتان المستقيم ذاته، أي حين تكون إحداهما مضاعفاً ثابتاً للأخرى. في هذه الحالة يساوي المحدد وكلا بسطَي كرامر الصفرَ، وكل نقطة على ذلك المستقيم تحقق النظام في آنٍ واحد.

قاعدة كرامر أم طريقة الإحلال: أيهما أفضل؟

طريقة الإحلال مناسبة للأنظمة البسيطة التي تُحَل يدوياً. أما قاعدة كرامر فتتيح صيغة مغلقة مباشرة، وهي أكثر كفاءةً حين تبقى مصفوفة المعاملات ثابتة ويتغير طرف الحل فحسب، أو حين يُراد التعبير عن الحل بصورة رمزية.

لماذا لا يعني المحدد الصفري دائماً انعدام الحل؟

D = 0 يعني فقط أن مصفوفة المعاملات شاذة وأن الصفين متناسبان خطياً. هل يوجد حل أم لا يتوقف على الطرف الأيمن: إذا تناسب مع المعاملات كان النظام متوافقاً وله حلول لا نهائية، وإذا لم يتناسب ظهر عدم التوافق وانعدم الحل حينئذٍ.