حاسبة جذع المخروط (المخروط الناقص)

آخر تحديث: 2026-05-20

ما هو جذع المخروط؟

جذع المخروط — ويُعرف أيضاً بالمخروط الناقص أو المخروط المقطوع — هو الجسم الهندسي الناتج عن قطع مخروط قائم بمستوٍ موازٍ لقاعدته وإزالة القسم العلوي.

يمتلك قاعدتين دائريتين متوازيتين: قاعدة كبرى بنصف قطر R وقاعدة صغرى بنصف قطر r، يربطهما سطح جانبي منحنٍ، وارتفاع h يُقاس عمودياً بين القاعدتين.

القوانين الرياضية

تُحسب جميع المقادير الأربعة مباشرةً من R و r و h.

المولّد هو طول المسافة المستقيمة على طول السطح الجانبي من أي نقطة على حافة القاعدة الكبرى إلى النقطة المقابلة على حافة القاعدة الصغرى:

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

يُطبَّق هنا مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم الذي ساقاه هما الفرق بين نصفَي القطر والارتفاع العمودي.

الحجم يُستخرج بطرح حجم المخروط المُزال من حجم المخروط الأصلي:

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

المساحة الجانبية (السطح المنحني فقط) تتكشّف عند البسط إلى قطاع دائري حلقي:

$A_{\text{lat}} = \pi(R + r)\,l$

المساحة الكلية تشمل القاعدتين الدائريتين معاً:

$A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

جذع المخروط والمخروط الكامل

جذع المخروط هو مخروط أُزيلت قمته. حين يكون r = 0، تُختزل قوانين جذع المخروط إلى قوانين المخروط العادي: V = πR²h/3 والمساحة الجانبية = πRl.

حين يكون r = R، ينقلب الشكل إلى أسطوانة: يساوي المولّد الارتفاع h، ويصبح الحجم πR²h، والمساحة الجانبية 2πRh. كلا الحالتين وسيلة عملية للتحقق من صحة الحسابات.

مثال محلول

خزّان مياه مخروطي الشكل يبلغ قطر قاعدته السفلية 40 سم وقطر فتحته العلوية 24 سم وارتفاعه 60 سم. أوجد سعته وإجمالي مساحة سطحه الخارجي.

• R = 20 سم، r = 12 سم، h = 60 سم
• $l = \sqrt{(20 - 12)^2 + 60^2} = \sqrt{64 + 3600} = \sqrt{3664} \approx 60.53$ سم
• V = (π × 60/3) × (400 + 240 + 144) = 20π × 784 ≈ 49,261 سم³ ≈ 49.3 لتراً
• A_lat = π × (20 + 12) × 60.53 = π × 32 × 60.53 ≈ 6,083 سم²
• A_tot = 6,083 + π × 400 + π × 144 ≈ 6,083 + 1,257 + 452 ≈ 7,792 سم²

يسع الخزّان نحو 49.3 لتراً من الماء، ويحتاج تصنيعه إلى ما يقارب 7,792 سم² (≈ 0.78 م²) من الصفيح قبل احتساب مناطق التحام الحواف.

التطبيقات العملية

• الدلاء وأواني الزينة — الجدار المنحني لأي دلو تقليدي هو سطح جذع مخروطي؛ تُحدّد مساحته الجانبية كمية المادة الخام اللازمة لتصنيعه.
• صوامع الحبوب والقمع الصناعي — الأجزاء القمعية توجّه المواد السائبة إلى أسفل، ويحدد حجم جذع المخروط طاقة التخزين.
• العمارة — السقوف المدرّجة وأبراج التبريد والأعمدة الزخرفية المخروطية كلها تستند إلى هندسة جذع المخروط.
• المركبات الفضائية — الأقسام الانتقالية بين الأسطوانات وقمة الصاروخ تُنمذَج جذعاً مخروطياً لحسابات السحب الهوائي.
• أكواب الورق — الكوب الورقي المخروطي القاعدة جذع رفيع الجدران؛ مساحته الجانبية تساوي مساحة القرص المعدني قبل التشكيل.

اشتقاق قانون الحجم

ينشأ العامل (R² + Rr + r²) من الهوية الجبرية المستخدمة عند طرح المخروط الصغير من الكبير.

إذا كان ارتفاع المخروط الكبير الكامل H، وارتفاع المخروط المُزال (H − h)، فإن:

$V_{\text{جذع}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

بعد حذف H (باستخدام علاقة التشابه H/R = (H − h)/r) والتبسيط، ينهار التعبير إلى الصيغة المختصرة أعلاه.

الحدود الثلاثة — R² و Rr و r² — تُفسَّر على التوالي بوصفها مساحة قاعدة المخروط الكبير، والوسط الهندسي بين القاعدتين، ومساحة قاعدة المخروط الصغير، وكلها مضروبة في h/3.