حاسبة التوافيق — C(n, r)

آخر تحديث: 2026-05-18

التوفيق — التعريف والصيغة

التوفيق $C(n, r)$ هو عدد طرق اختيار $r$ عنصر من مجموعة مؤلفة من $n$ عنصر مختلف، بصرف النظر عن الترتيب. اختيار $\{أ، ب\}$ مطابق لاختيار $\{ب، أ\}$.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

يُعرف أيضاً بالمعامل ذي الحدين، ويُقرأ "$r$ من $n$".

مثال محلول

كم عدد أوراق اللعب ذات الـ 5 أوراق الممكنة من رزمة من 52 ورقة؟

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{,}598{,}960$$

ما يقارب 2.6 مليون يد مختلفة من 52 ورقة فقط.

التوفيق أم التبديل؟

الموقف	الصيغة	السبب
لجنة من 3 أشخاص من بين 10 مرشحين	$C(10, 3)$	يهم فقط التشكيل لا الترتيب
ميداليات (ذهب، فضة، برونز) بين 10 رياضيين	$P(10, 3)$	الميدالية تعتمد على المركز
6 أرقام يانصيب من 1–49	$C(49, 6)$	يهم فقط الأرقام المختارة
رمز PIN من 4 أرقام بدون تكرار	$P(10, 4)$	تسلسل الأرقام يحدد الرمز

للقيم نفسها $n$ و$r$: $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

خاصية التماثل

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

اختيار 3 من 10 يعادل تحديد الـ 7 الذين لن يُختاروا. عندما $r > n/2$، يُبسِّط استخدام $C(n, n-r)$ الحساب.

مثلث باسكال

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

هذه العلاقة التكرارية تولّد مثلث باسكال، حيث تضم الصف رقم $n$ القيم $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$.

تطبيقات شائعة

• الاحتمالات: أيدي البوكر، احتمالات الفوز باليانصيب
• تشكيل الفرق: اختيار لاعبين من مجموعة
• مراقبة الجودة والدراسات: سحب عينات ممثلة من دفعة إنتاجية
• التوزيع ذو الحدين: أساس النماذج الاحتمالية المتقطعة

ملاحظات عملية

حالات خاصة. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$: توجد طريقة واحدة لعدم اختيار شيء، وطريقة واحدة لاختيار الكل.

$r > n$ غير معرّف. لا يمكن اختيار عدد أكبر من العدد الكلي للعناصر؛ تعرض الحاسبة رسالة خطأ في هذه الحالة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو التوفيق (Combination)؟

التوفيق C(n, r) هو عدد طرق اختيار r عنصر من مجموعة مؤلفة من n عنصر مختلف، بصرف النظر عن الترتيب. اختيار {أ، ب} مطابق لاختيار {ب، أ}. الصيغة هي: C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)، ويُعرف أيضاً بالمعامل ذي الحدين.

متى يُستخدم التوفيق بدلاً من التبديل؟

استخدم التوفيق عندما يهم فقط المجموعة المختارة دون اعتبار الترتيب: اختيار لجنة، أرقام اليانصيب، اختيار إضافات البيتزا. استخدم التبديل عندما يهم الترتيب: تخصيص مقاعد، مراتب الفوز، رموز السر. للقيم نفسها: C(n, r) = P(n, r) / r!.

ما صيغة C(n, r)؟

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). r! في المقام يُلغي جميع ترتيبات r عنصر مختار، إذ تُعدّ جميعها توفيقاً واحداً. مثال: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. يوجد 10 طرق لاختيار عنصرين من 5 عناصر بصرف النظر عن الترتيب.