حساب مشتقة كثيرة الحدود عند نقطة

آخر تحديث: 2026-05-26

تعريف المشتقة عند نقطة

المشتقة هي معدل التغير اللحظي لدالة ما عند نقطة بعينها. لكثيرة الحدود P(x)، تُعرَّف المشتقة عند النقطة x₀ بالحد:

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

هندسياً، هذا الحد يساوي ميل الوتر بين نقطتين على المنحنى عندما تتقاربان حتى تتطابقا — أي ميل خط المماس للمنحنى عند x₀.

قاعدة القوة

لأي حد من الشكل $a_k x^k$، تُطبَّق قاعدة القوة مباشرةً:

$\frac{d}{dx}\bigl[a_k x^k\bigr] = k \cdot a_k x^{k-1}$

بتطبيقها حدًّا بحد على كثيرة الحدود:

$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$

$P'(x) = n\,a_0\,x^{n-1} + (n-1)\,a_1\,x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$

يختفي الحد الثابت $a_n$ لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفراً، وتكون درجة المشتقة أقل بمقدار واحد من درجة الدالة الأصلية.

مثال محلول

لتكن P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5، أي المعاملات: 1, -3, 2, 5، والمطلوب حساب المشتقة عند x = 2.

الخطوة الأولى — حساب P(2) بطريقة هورنر:

$P(2) = \bigl((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2\bigr) \cdot 2 + 5 = 5$

الخطوة الثانية — اشتقاق كثيرة الحدود بقاعدة القوة:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

الخطوة الثالثة — حساب قيمة المشتقة عند x = 2:

$P^{\prime}(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

الخطوة الرابعة — كتابة معادلة خط المماس:

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

يلمس خط المماس المنحنى عند النقطة (2، 5) بميل مقداره 2.

إدخال المعاملات

تُدخل المعاملات من الدرجة الأعلى إلى الأدنى، مفصولةً بفواصل. يجب تضمين معاملات الحدود الغائبة كصفر:

في x⁴ − 1، غياب حدود x³ وx² وx يعني إدخال أصفار في مواضعها، فيصبح الإدخال 1, 0, 0, 0, -1.

مخرجات معاملات المشتقة

تُعيد الأداة معاملات P'(x) بالترتيب ذاته من الأعلى إلى الأدنى. للمثال السابق:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Longrightarrow \quad \text{المعاملات: } 3,\,-6,\,2$

يمكن إعادة إدخال هذه المعاملات في الأداة لاشتقاق P″(x)، أو استخدامها في حل المعادلة التربيعية لإيجاد نقاط الحرج حيث P'(x) = 0.

المعنى الهندسي

المشتقة P'(x₀) هي معدل التغير اللحظي لكثيرة الحدود عند x₀؛ كلما ضاق الفاصل [x₀، x₀ + h] نحو الصفر، اقترب ميل الوتر من P'(x₀). خط المماس يُمثل أفضل تقريب خطي للمنحنى بالقرب من x₀: يتباعد المنحنى عن المماس بمقدار يتناسب مع (Δx)²، مما يجعله نموذجاً موضعياً دقيقاً لكثيرة الحدود. للمقارنة، حاسبة معدل التغير المتوسط يحسب ميل الوتر بين نقطتين — وهو المقابل المتقطع للمشتقة اللحظية.