حل المعادلة التربيعية

آخر تحديث: 2026-05-13

المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة يكون فيها أعلى أس للمتغير $x$ هو 2. تُكتب في صورتها القياسية على النحو التالي:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

حيث $a$ و$b$ و$c$ معاملات حقيقية. اشتراط $a \neq 0$ ضروري؛ فلو كان $a = 0$ لأصبحت المعادلة خطيةً من الدرجة الأولى.

صيغة حلّ المعادلة التربيعية

تُحلّ أي معادلة تربيعية باستخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

يُعطي الرمز ± جذرَين اثنين:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

المميّز

التعبير $D = b^2 - 4ac$ تحت الجذر يُسمّى المميّز، وإشارته تحدّد طبيعة الجذور:

المميّز	طبيعة الجذور
$D > 0$	جذران حقيقيان مختلفان
$D = 0$	جذر حقيقي مضاعف واحد
$D < 0$	جذران مركّبان مترافقان

الجذر المضاعف (D = 0)

حين يكون المميّز صفراً، يتساوى الجذران:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

تُمثّل هذه القيمة إحداثي $x$ لرأس القطع المكافئ المرتبط بالمعادلة.

الجذور المركّبة (D < 0)

إذا كان المميّز سالباً، فإن $\sqrt{D}$ لا قيمة حقيقية له، وتصبح الجذور أعداداً مركّبة:

$x = \alpha \pm \beta i$

حيث

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$ هو الجزء الحقيقي و$\beta$ هو الجزء التخيّلي. في المعادلات ذات المعاملات الحقيقية، تظهر الجذور المركّبة دائماً في أزواج مترافقة.

استخدام الحاسبة

أدخِل المعاملات $a$ و$b$ و$c$، وستحسب الحاسبة تلقائياً المميّز والجذرين.

• إذا كان المميّز $\geq 0$: يظهر الجذران $x_1$ و$x_2$ في قسم «الجذور الحقيقية».
• إذا كان المميّز $< 0$: يظهران الجزء الحقيقي $\alpha$ والجزء التخيّلي $\beta$ في قسم «الجذور المركّبة».

مثال: $x^2 - 3x + 2 = 0$

بأخذ $a = 1$ و$b = -3$ و$c = 2$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

الصلة بالقطع المكافئ

جذور المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ هي إحداثيات $x$ لنقاط تقاطع القطع المكافئ $y = ax^2 + bx + c$ مع المحور الأفقي.

• $D > 0$: القطع المكافئ يقطع المحور في نقطتين مختلفتين.
• $D = 0$: القطع المكافئ يلمس المحور في نقطة واحدة (الرأس على المحور).
• $D < 0$: القطع المكافئ لا يقطع المحور الأفقي في أي نقطة حقيقية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة حلّ المعادلة التربيعية؟

للمعادلة ax² + bx + c = 0، الجذور هي x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). يُعطي الرمز ± جذرَين، يُسمّى الأول x₁ (بالإشارة +) والثاني x₂ (بالإشارة −). وهذان الجذران هما نقطتا تقاطع القطع المكافئ y = ax² + bx + c مع محور x.

ماذا يخبرنا المميّز؟

يحدّد المميّز D = b² − 4ac طبيعة الجذور. إذا كان D > 0، فثمة جذران حقيقيان مختلفان. إذا كان D = 0، فثمة جذر حقيقي مضاعف واحد (x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). إذا كان D < 0، فالجذران مركّبان مترافقان ولا توجد جذور حقيقية.

ما هي الجذور المركّبة عندما يكون D < 0؟

حين يكون المميّز سالباً، تكون الجذور مركّبة مترافقة: x = α ± βi، حيث α = −b ÷ (2a) هو الجزء الحقيقي وβ = √(−D) ÷ (2|a|) هو الجزء التخيّلي. في المعادلات ذات المعاملات الحقيقية، تظهر الجذور المركّبة دائماً في أزواج مترافقة.