حاسبة معدل التغير المتوسط

آخر تحديث: 2026-05-19

مفهوم معدل التغير المتوسط

معدل التغير المتوسط هو نسبة التغير الكلي في قيمة دالة ما إلى التغير المقابل في المتغير المستقل على فترة محددة، ويساوي ميل الوتر الواصل بين نقطتين على منحنى الدالة. يُعدّ هذا المفهوم من أبسط المفاهيم وأوسعها تطبيقاً في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد.

ما هو معدل التغير المتوسط؟

معدل التغير المتوسط لدالة f بين قيمتين لـ x يقيس مقدار التغير في المخرج لكل وحدة تغير في المدخل. إذا كانت لدينا نقطتان (x₁, f(x₁)) و(x₂, f(x₂))، فالصيغة هي:

$\text{معدل التغير المتوسط} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$

هذا تماماً هو ميل الوتر — الخط المستقيم الواصل بين النقطتين على المنحنى. بخلاف الخط المستقيم الذي يكون ميله ثابتاً في كل نقطة، فإن معدل التغير المتوسط يتغير بتغير الفترة المختارة: منطقة أكثر انحداراً من المنحنى تعطي قيمةً أكبر.

مثال تطبيقي محلول

لتكن الدالة تصف ارتفاع كرة مقذوفة رأسياً بالأمتار بدلالة الزمن بالثواني: h(t) = −5t² + 20t. احسب معدل التغير المتوسط بين t = 1 ث و t = 3 ث.

الخطوة الأولى — حساب قيمة الدالة عند الطرفين:

$h(1) = -5(1)^2 + 20(1) = 15 \text{ م}$

$h(3) = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \text{ م}$

الخطوة الثانية — حساب Δh و Δt:

$\Delta h = 15 - 15 = 0 \text{ م}, \quad \Delta t = 3 - 1 = 2 \text{ ث}$

الخطوة الثالثة — القسمة:

$\text{معدل التغير المتوسط} = \frac{0}{2} = 0 \text{ م/ث}$

معدل التغير الصفري هنا لا يعني أن الكرة واقفة — بل يعني أنها عادت إلى نفس الارتفاع الذي بدأت منه بعد ثانيتين. كانت ترتفع ثم تنخفض، لكن الصافي على المدى كان صفراً. السرعة اللحظية عند t = 1 ث وعند t = 3 ث ليست صفراً، وهذا يوضح الفارق بين المعدل المتوسط واللحظي.

الوتر مقابل المماس

	الوتر (Secant)	المماس (Tangent)
يمر بـ	نقطتين على المنحنى	نقطة واحدة فقط
ميله يساوي	معدل التغير المتوسط	معدل التغير اللحظي
يُحسب بـ	Δf / Δx	المشتقة f′(x)
يحتاج حساباً تفاضلياً؟	لا	نعم

معدل التغير المتوسط مفهوم ما قبل التفاضل — لا يحتاج إلا إلى عمليات حسابية أساسية. أما ميل المماس فهو نهاية ميل الوتر حين تتقارب نقطتاه حتى تتطابقا: كلما اقتربت x₂ من x₁، دار الوتر حتى أصبح مماساً.

لماذا هذه الصيغة؟

الصيغة مشتقة مباشرةً من تعريف الميل: ميل أي خط يساوي (الارتفاع) ÷ (الامتداد الأفقي) = Δf / Δx. تُجيب هذه الصيغة عن سؤال عملي: لو لم تعرف من الدالة إلا قيمتها عند نقطة البداية والنهاية، فما المعدل الثابت الذي كان سيُنتج نفس التغير الصافي؟

العلاقة بنظرية القيمة المتوسطة

تضمن نظرية القيمة المتوسطة أنه لأي منحنى سلس (مستمر وقابل للاشتقاق) على الفترة [x₁, x₂]، يوجد على الأقل نقطة c داخل الفترة تكون فيها المشتقة مساويةً لمعدل التغير المتوسط:

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

هذا يعني أن ميل الوتر ليس مجرد تقريب — فهو بالضبط ميل المماس في نقطة ما داخل الفترة. التطبيق الفيزيائي المباشر: متوسط سرعة أي مركبة على فترة زمنية هو أيضاً سرعتها اللحظية في لحظة ما خلال تلك الفترة.

تطبيقات حقيقية

• الفيزياء — السرعة المتوسطة: إذا كان الجسم عند الموضع 3 م في t = 1 ث ثم عند 19 م في t = 5 ث، فمتوسط سرعته = (19 − 3) / (5 − 1) = 4 م/ث.
• الاقتصاد — التحليل الحدي: معدل التغير المتوسط للإيراد بالنسبة إلى الكمية المباعة يُقرّب مساهمة كل وحدة إضافية في الإيراد — نسخة منفصلة من مفهوم الإيراد الحدي.
• علم الأحياء — النمو السكاني: إذا نمت مستعمرة بكتيرية من 500 إلى 1200 خلية في 3 ساعات، فمعدل التغير المتوسط = (1200 − 500) / 3 ≈ 233 خلية/ساعة.
• أسواق المال — تغير السعر: إذا ارتفع سهم من 42.5 ريال إلى 51.3 ريال في 4 أشهر، فمعدل التغير = (51.3 − 42.5) / 4 = 2.2 ريال/شهر.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين معدل التغير المتوسط ومعدل التغير اللحظي؟

معدل التغير المتوسط يقيس مجمل التغير في الدالة على فترة محددة، وهو ميل الوتر المار بالنقطتين. أما معدل التغير اللحظي فهو ميل المماس عند نقطة واحدة، ويُحسب بأخذ النهاية حين تتقارب قيمتا x حتى تتطابقا — وهذه النهاية هي المشتقة في حساب التفاضل والتكامل.

للدوال الخطية يتساوى المعدلان دائماً؛ أما للمنحنيات فيختلفان إلا إذا تطابقت نقطتا الفترة.

ما علاقة معدل التغير المتوسط بنظرية القيمة المتوسطة؟

تنص نظرية القيمة المتوسطة على أنه إذا كانت الدالة مستمرة على [x₁, x₂] وقابلة للاشتقاق على (x₁, x₂)، فلا بد من وجود نقطة c على الأقل داخل الفترة يتساوى عندها معدل التغير اللحظي مع معدل التغير المتوسط: f'(c) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).

بمعنى آخر، ميل الوتر الذي تحسبه هذه الأداة مضمون أن يكون ميلَ المماس في نقطة ما داخل الفترة. وتُعدّ نظرية القيمة المتوسطة من أهم نتائج التفاضل في الرياضيات.

كيف يرتبط معدل التغير المتوسط بالسرعة في الفيزياء؟

حين تكون الإزاحة دالةً في الزمن، فإن معدل التغير المتوسط للمكان يعطي متوسط السرعة: v̄ = Δs / Δt. مثلاً، إذا كان جسم في الموضع 3 م عند t = 1 ث ثم في الموضع 19 م عند t = 5 ث، فمتوسط سرعته = (19 − 3) / (5 − 1) = 4 م/ث.

تنسحب الفكرة نفسها على أي كمية فيزيائية: متوسط التسارع = Δv / Δt، ومتوسط شدة التيار = ΔQ / Δt، ومتوسط معدل النمو السكاني = ΔN / Δt.

هل يمكن أن يكون معدل التغير المتوسط سالباً؟

نعم. المعدل السالب يعني أن الدالة تناقصت على الفترة، أي f(x₂) < f(x₁). مثلاً، إذا تباطأت سيارة من 120 كم/س إلى 60 كم/س خلال 6 ثوانٍ، فمعدل التغير المتوسط للسرعة = (60 − 120) / 6 = −10 كم/س².

الإشارة تحدد اتجاه التغير: موجبة تعني أن الدالة تزايدت، وسالبة تعني أنها تناقصت، وصفر يعني أن الصافي الإجمالي كان ثابتاً في المتوسط — حتى لو تذبذبت الدالة في الأثناء.