حاسبة التكامل المحدد للكثيرات الحدود

آخر تحديث: 2026-05-26

التكامل المحدد

التكامل المحدد يقيس المساحة المُوجَّهة بين دالة ما والمحور السيني على الفترة المغلقة $[a, b]$:

$\int_a^b P(x)\,dx$

"المُوجَّهة" تعني أن المساحات الواقعة تحت المحور السيني تُعدّ سالبة. إذا امتد المنحنى أسفل الصفر في جزء من الفترة، طُرحت تلك المساحة من المجموع. والناتج عدد واحد، لا دالة.

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل

الفكرة المحورية التي جعلت التكامل المحدد قابلًا للتطبيق العملي هي النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل:

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

حيث $F(x)$ هي أي دالة أصلية لـ $P(x)$، أي دالة تحقق $F'(x) = P(x)$.

بدلًا من جمع مستطيلات لا نهاية لها بعرض لا نهائي الصغر، يكفي:

1. إيجاد الدالة الأصلية $F(x)$.
2. حساب قيمة $F$ عند الطرفين $a$ و $b$.
3. طرح القيمتين.

قاعدة القوة للتكامل

لكثيرات الحدود، تُستخرج الدالة الأصلية لكل حد باستخدام قاعدة القوة:

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

تُطبَّق القاعدة على كل حد على حدة لإيجاد الدالة الأصلية لكثيرة الحدود كاملةً.

مثال — ∫₀² (3x² − 1) dx:

الحد	قاعدة القوة	حد الدالة الأصلية
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

إذن $F(x) = x^3 - x$.

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

إدخال المعاملات

أدخل معاملات كثيرة الحدود من الدرجة الأعلى إلى الأدنى، مفصولة بفواصل.

كثيرة الحدود	المعاملات المُدخَلة
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (ثابت)	7

عدد القيم المُدخَلة يحدد الدرجة: أربع قيم تعني كثيرة حدود من الدرجة الثالثة.

المساحة المُوجَّهة وعكس الحدود

يعطي التكامل المحدد مساحةً مُوجَّهة، وهو ما له نتيجتان مهمتان:

حين يكون المنحنى أسفل المحور السيني: تكون المساهمة سالبة. فمثلًا، $\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}$، رغم أن المساحة الهندسية للمنطقة تساوي $\dfrac{1}{2}$.

حين يكون $a > b$: يساوي التكامل سالب التكامل من $b$ إلى $a$:

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

هذه ليست مشكلة في الحساب، بل خاصية أساسية للتكامل. تتعامل الحاسبة مع هذه الحالة بشكل صحيح؛ فإدخال $a = 2,\ b = 0$ يعطي سالب قيمة التكامل عند $a = 0,\ b = 2$.

ثابت التكامل

عند حساب التكامل غير المحدد يُكتب $F(x) + C$، حيث $C$ ثابت اعتباطي. أما في التكامل المحدد فيلغي $C$ نفسه:

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

لذا لا أثر لثابت التكامل في التكامل المحدد، ويُحذف من الدالة الأصلية المعروضة هنا.

حدود الطريقة والتكامل العددي

تصلح قاعدة القوة للكثيرات الحدود فقط ($x^n$ بأعداد صحيحة $n \geq 0$). للدوال الأخرى، تُستخدم الطرق العددية:

نوع الدالة	الطريقة
$\sin x$، $\cos x$، $e^x$	دوال أصلية معروفة (دقيقة)
النسبية والجبرية	الكسور الجزئية، والتعويض
بلا دالة أصلية مُغلقة	قاعدة سيمبسون، تربيع غاوس

إذا لم يكن المُكامَل قابلًا للكتابة على شكل كثيرة حدود، فهذه الحاسبة غير مناسبة — تُلائم مثل هذه الحالات طرقُ التكامل العددي أو أنظمة الجبر الحاسوبي.

تطبيقات عملية

يظهر التكامل المحدد في مجالات العلوم والهندسة المختلفة:

• الفيزياء: الإزاحة من السرعة ($\int v\,dt$)، والشغل المبذول بواسطة قوة ($\int F\,dx$).
• الاقتصاد: فائض المستهلك (المساحة بين منحنى الطلب ومستوى السعر).
• الاحتمالات: احتمال وقوع متغير عشوائي مستمر في $[a, b]$ يساوي $\int_a^b f(x)\,dx$ حيث $f$ دالة الكثافة.
• الهندسة: المساحة بين منحنيين، وحجم الأجسام الدورانية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

هل يمكن حساب تكامل أي دالة باستخدام هذه الحاسبة؟

تعمل هذه الحاسبة مع كثيرات الحدود فقط — وهي الدوال من الشكل P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. تُحسب الدالة الأصلية لكل حد بتطبيق قاعدة القوة، وهو ما يُعطي نتيجةً دقيقةً دون أي خطأ تقريبي. لتكامل دوال أخرى كـ sin أو eˣ أو ln x، تُستخدم طرق التكامل العددي كقاعدة سيمبسون أو تربيع غاوس.

ماذا يحدث إذا كان الحد الأدنى أكبر من الحد الأعلى (a > b)؟

تُعطي الحاسبة المساحة المُوجَّهة الصحيحة في جميع الأحوال. بموجب خاصية التكامل المحدد: ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx. وعليه، إذا كان a > b فإن الناتج سيكون سالب قيمة التكامل من b إلى a. وهذا صحيح رياضيًا ومفيد في إعداد التكاملات المضاعفة وتكاملات التدفق.

ما الدالة الأصلية ولماذا تُسهِّل حساب التكامل؟

الدالة الأصلية F(x) لـ P(x) هي الدالة التي مشتقتها تساوي P(x). لكل حد aₙxⁿ، تعطي قاعدة القوة: aₙxⁿ⁺¹/(n+1). لتكامل كثيرة الحدود، تُطبَّق القاعدة على كل حد ثم تُجمع النتائج. وبذلك تؤكد النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل أن ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a)، فيتحول حساب التكامل إلى مجرد تعويض عددي بسيط.

لماذا لا يظهر ثابت التكامل في النتيجة؟

عند حساب التكامل المحدد، يلغي ثابت التكامل C نفسه بنفسه: [F(x) + C] من a إلى b يساوي (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). ولهذا لا يؤثر C في الناتج، ومن المعتاد حذفه. أما في التكامل غير المحدد فيُكتب مجموعة الدوال الأصلية على الشكل F(x) + C.