組み合わせの計算 — C(n, r)

最終更新: 2026-05-18

組み合わせの定義

組み合わせ $C(n, r)$ は、$n$ 個の異なるものの中から $r$ 個を選ぶ場合の数で、選ぶ順番は問いません。$\{A, B\}$ と $\{B, A\}$ は同じ組み合わせです。

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

「二項係数」とも呼ばれ、$\binom{n}{r}$（$n$ 個から $r$ 個を選ぶ）と表記することもあります。

計算例

52 枚のトランプから 5 枚を引いた場合の手札の総数は？

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{,}598{,}960$$

52 枚から 5 枚を選ぶ手札は、約 260 万通り存在します。

対称性

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

「10 人から 3 人を選ぶ」は「10 人から 7 人を残す（= 3 人を外す）」と等価です。$r > n/2$ のとき、$C(n, n-r)$ を使う方が計算が楽になります。

パスカルの三角形

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

この漸化式からパスカルの三角形が構築されます。$n$ 行目の各要素が $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$ に対応します。

順列との使い分け

場面	使うべき計算	理由
10 人の中から 3 人の委員を選ぶ	$C(10, 3)$	誰を選んだかだけが重要
10 人の中から金・銀・銅メダル	$P(10, 3)$	順番によって受賞内容が変わる
49 個の中から 6 個の数字を選ぶ宝くじ	$C(49, 6)$	選んだ数字の組み合わせのみが重要
4 桁の暗証番号（重複なし）	$P(10, 4)$	数字の並び順が PIN を決める

同じ $n$ と $r$ では $C(n, r) = P(n, r) / r!$ の関係があります。

主な活用場面

• 確率計算：ポーカーやロトの当選確率
• チームの編成：プレイヤーを選んでチームを作る
• 医療・品質管理：母集団からサンプルを抽出する
• 二項分布：成功確率 $p$ の試行を $n$ 回行う際の分布

実用上の注意

特殊な値：$C(n, 0) = C(n, n) = 1$。何も選ばない方法と全部選ぶ方法はそれぞれ 1 通りです。

$r > n$ は定義できません。選ぶ数が全体を超えるため、この計算機はエラーを返します。

階乗が必要なときは：階乗の計算（n!） で $n!$ を直接求められます。

よくある質問 (FAQ)

組み合わせとは何ですか？

組み合わせ C(n, r) は、n 個の異なるものの中から r 個を選ぶ場合の数で、選ぶ順番は問いません。{A, B} と {B, A} は同じ組み合わせです。公式は C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) で、「二項係数」や「n 個から r 個を選ぶ」とも表されます。

組み合わせと順列はどう使い分けますか？

メンバーや集合のみが重要で順番は問わない場合（委員の選出・宝くじ・ピザのトッピング選択）は組み合わせを使います。順番が結果を左右する場合（席順・入賞順位・パスワード）は順列を使います。同じ n と r では C(n, r) = P(n, r) / r! の関係があります。

C(n, r) の公式はどうなっていますか？

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) です。分母の r! が選んだ r 個の並べ方をすべて割り切ることで、順番を無視した選び方だけを数えます。例：C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10。「5 個から 2 個を選ぶ方法は 10 通り」という意味です。