ホーム 数学 階乗の計算（n!） 階乗の計算（n!） n! を 0〜20 の範囲で計算します。20! = 2,432,902,008,176,640,000 まで正確な整数値を表示します。 印刷 入力 n 結果 n! j! 0 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-05-22 階乗とは 非負整数 nn の階乗（n!n!）は、1 から nn までのすべての正の整数の積です。 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1 主な値は次のとおりです。 nn!01（定義による）115120103,628,800202,432,902,008,176,640,000 0! = 1 の理由 「0 の階乗が 1」というのは直感に反して見えますが、漸化式 n!=n×(n−1)!n! = n \times (n-1)! から自然に導けます。$n = 1$ を代入すると 1!=1×0!1! = 1 \times 0! となり、$0! = 1$ が必要です。概念的には「ゼロ個の物を並べる方法は1通り（何もしないこと）」と解釈できます。この定義があるからこそ、順列・組み合わせの公式が端点でも正しく機能します。 階乗の増え方 階乗はどんな指数関数よりも速く増大します。$n = 13$ でも $13! = 6{,}227{,}020{,}800$（約 62 億）に達し、$n = 20$ では 19 桁の数になります。64 ビット整数の上限を超えるため、この計算機は $n = 20$ を上限にしています。 大きな nn の目安としてスターリングの近似式があります。 n!≈2πn(ne)nn! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^nn!≈2πn(en)n 階乗が登場する場面 並べ方の数え方 nn 個の異なる物を一列に並べる場合の数は n!n! 通りです。5 冊の本の並べ方は $5! = 120$ 通りです。 順列と組み合わせ どちらの公式も階乗を使って表されます。 P(n,r)=n!(n−r)!C(n,r)=n!r! (n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!C(n,r)=r!(n−r)!n! 確率論 二項分布やポアソン分布など、離散確率の計算に階乗が現れます。 微積分 テイラー展開の分母に階乗が登場します。例えば ex=∑k=0∞xkk!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} です。 計算範囲と関連する計算 整数の正確値 n≤20n \leq 20 の範囲では、計算結果は丸め誤差のない正確な整数です。 順列・組み合わせ 順列の計算 — P(n, r)は P(n,r)=n!/(n−r)!P(n,r) = n!/(n-r)!、組み合わせの計算 — C(n, r)は C(n,r)=n!/(r!(n−r)!)C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) を直接求められます。階乗を個別に計算する必要はありません。 よくある質問 (FAQ)階乗とは何ですか？非負整数 n の階乗（n!）は、1 から n までのすべての正の整数の積です。たとえば 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 です。特別な値として 0! = 1 と定義されています。階乗は急激に増大し、20! はすでに約 2.4 × 10¹⁸ に達します。 0! が 1 になるのはなぜですか？0! = 1 は定義による規約であり、漸化式 n! = n × (n−1)! から自然に導かれます。n = 1 を代入すると 1! = 1 × 0! となり、0! = 1 が必要です。概念的には「ゼロ個の物を並べる方法は何も変えない 1 通り」とも解釈できます。この定義により、順列・組み合わせの公式が端点でも正しく機能します。 階乗はどんな場面で使われますか？階乗は順列・組み合わせ（場合の数）、確率論（二項係数・二項分布）、微積分（マクローリン展開）、数論など幅広い分野に登場します。n 個の異なる対象を一列に並べる方法の総数がちょうど n! です。 次のおすすめ 順列の計算 — P(n, r) 順列 P(n, r) を計算します。n 個から r 個を順番ありで選ぶ場合の数を n = 20 まで求められます。 詳しく解説組み合わせの計算 — C(n, r) 組み合わせ C(n, r) を計算します。n 個から r 個を順番なしで選ぶ場合の数を n = 20 まで求められます。 詳しく解説サイコロ確率の計算 複数のサイコロを振って目標の合計値以上になる確率を分数と小数で正確に計算します。TRPGや確率学習に。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 確率の他の計算 カード確率の計算サイコロ確率の計算階乗の計算（n!）順列の計算 — P(n, r)条件付き確率・ベイズの定理計算ツール正規分布計算ツール +2 more Show less 組み合わせの計算 — C(n, r)二項確率の計算 数学の他のカテゴリ 代数 2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）一次方程式の計算（ax + b = c）三次方程式の解絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の定積分多項式の微分計算二次方程式の解判別式の計算平方完成の計算平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算四角錐の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線三角法 ベクトルの大きさの計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算余弦定理の計算統計 Zスコア計算ツールピアソン相関係数の計算ツール加重平均の計算記述統計量計算ツール誤差率（百分率誤差）の計算信頼区間の計算分散・標準偏差の計算平均・中央値・最頻値の計算変動係数（CV）の計算数列・級数 フィボナッチ数列の計算等差数列の計算平均変化率計算ツール数論 ローマ数字変換ツール最大公約数・最小公倍数の計算指数表記（科学的記数法）変換器素因数分解の計算素数チェッカー対数の計算分数・パーセント パーセント計算比・比例の計算分数・小数・百分率の変換分数の四則演算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-05-22 階乗とは 非負整数 nn の階乗（n!n!）は、1 から nn までのすべての正の整数の積です。 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1 主な値は次のとおりです。 nn!01（定義による）115120103,628,800202,432,902,008,176,640,000 0! = 1 の理由 「0 の階乗が 1」というのは直感に反して見えますが、漸化式 n!=n×(n−1)!n! = n \times (n-1)! から自然に導けます。$n = 1$ を代入すると 1!=1×0!1! = 1 \times 0! となり、$0! = 1$ が必要です。概念的には「ゼロ個の物を並べる方法は1通り（何もしないこと）」と解釈できます。この定義があるからこそ、順列・組み合わせの公式が端点でも正しく機能します。 階乗の増え方 階乗はどんな指数関数よりも速く増大します。$n = 13$ でも $13! = 6{,}227{,}020{,}800$（約 62 億）に達し、$n = 20$ では 19 桁の数になります。64 ビット整数の上限を超えるため、この計算機は $n = 20$ を上限にしています。 大きな nn の目安としてスターリングの近似式があります。 n!≈2πn(ne)nn! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^nn!≈2πn(en)n 階乗が登場する場面 並べ方の数え方 nn 個の異なる物を一列に並べる場合の数は n!n! 通りです。5 冊の本の並べ方は $5! = 120$ 通りです。 順列と組み合わせ どちらの公式も階乗を使って表されます。 P(n,r)=n!(n−r)!C(n,r)=n!r! (n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!C(n,r)=r!(n−r)!n! 確率論 二項分布やポアソン分布など、離散確率の計算に階乗が現れます。 微積分 テイラー展開の分母に階乗が登場します。例えば ex=∑k=0∞xkk!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} です。 計算範囲と関連する計算 整数の正確値 n≤20n \leq 20 の範囲では、計算結果は丸め誤差のない正確な整数です。 順列・組み合わせ 順列の計算 — P(n, r)は P(n,r)=n!/(n−r)!P(n,r) = n!/(n-r)!、組み合わせの計算 — C(n, r)は C(n,r)=n!/(r!(n−r)!)C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) を直接求められます。階乗を個別に計算する必要はありません。 よくある質問 (FAQ)階乗とは何ですか？非負整数 n の階乗（n!）は、1 から n までのすべての正の整数の積です。たとえば 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 です。特別な値として 0! = 1 と定義されています。階乗は急激に増大し、20! はすでに約 2.4 × 10¹⁸ に達します。 0! が 1 になるのはなぜですか？0! = 1 は定義による規約であり、漸化式 n! = n × (n−1)! から自然に導かれます。n = 1 を代入すると 1! = 1 × 0! となり、0! = 1 が必要です。概念的には「ゼロ個の物を並べる方法は何も変えない 1 通り」とも解釈できます。この定義により、順列・組み合わせの公式が端点でも正しく機能します。 階乗はどんな場面で使われますか？階乗は順列・組み合わせ（場合の数）、確率論（二項係数・二項分布）、微積分（マクローリン展開）、数論など幅広い分野に登場します。n 個の異なる対象を一列に並べる方法の総数がちょうど n! です。
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