多項式の微分計算

最終更新: 2026-05-26

多項式の微分とは

多項式 P(x) の微分とは、各点における曲線の「傾き」を別の多項式 P'(x) として求める操作です。べき乗則を各項に適用することで、任意の多項式を系統的に微分できます。

べき乗則

任意の項 $a_n x^n$ の導関数は次の式で与えられます。

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

多項式全体に適用すると、

$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$

$P'(x) = n\,a_0\,x^{n-1} + (n-1)\,a_1\,x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$

定数項（次数 0 の項）は微分すると 0 になるため消え、導関数の次数は元の多項式より 1 低くなります。

計算例

P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5（係数：1, -3, 2, 5）を x = 2 で評価する場合を順に追います。

① P(2) をホーナー法で計算する

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

② べき乗則で各項を微分する

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

③ P'(2) を求める

$P'(2) = 3 \times 4 - 6 \times 2 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

④ 接線の方程式を書く

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

よって、曲線は点 (2, 5) で傾き 2 の接線 y = 2x + 1 を持ちます。

導関数の幾何学的な意味

導関数 P'(x₀) は、x₀ における曲線の瞬間変化率です。区間 [x₀, x₀ + h] の割線の傾きは、h → 0 の極限で P'(x₀) に収束します。

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

接線は x₀ 近傍における曲線の最良の一次近似であり、x₀ からのずれ Δx が小さければ、曲線と接線の差は (Δx)² に比例して小さくなります。

係数の入力方法

欠落した次数には 0 を入力してください。x⁴ − 1 の場合、x³・x²・x の係数がすべて 0 なので 1, 0, 0, 0, -1 となります。

導関数の係数出力の活用

計算結果として出力される導関数の係数は、元の多項式と同じく高次から低次の順で表示されます。P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 の場合：

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{係数：} 3, -6, 2$

この係数をそのまま入力フィールドに貼り付けると P''(x) を求められます。また、二次方程式の解 に入力すれば P'(x) = 0 の解（多項式の極値を与える x）を求めることができます。